Симметрическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Множество всех перестановок множества X (т.е. биекций X →X) с операцией композиции образуют группу, которая называется симметрической группой или группой перестановок X.

Обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,..., n}, то S(X) обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $i d$ , определяемая как тождественное отображение: $i d (x) = x$ .

[править] Связанные определения

Подгруппа симетрической группы S(X) называется группой подстановок X.
Коммутантом S_n является знакопеременная группа A_n.

[править] Свойства

При $n \geq 3$ симметрическая группа S_n является некоммутативна.
При $n \geq 5$ симметрическая группа S_n является неразрешимой.
В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X.
Любая группа G изоморфна подгруппе S(G) (теорема Кэли).