Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теоре́ма Вейерштра́сса гласит, что
|
Функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани |
[править] Доказательство для Rn
Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), 
. Возьмём последовательность чисел am таких, что 
и am < M. Для каждого m найдётся точка xm, такая что am < f(xm). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано—Вейерштрасса из последовательности xm можно выделить сходящуюся последовательность (
), предел которой лежит в A.
Для любого xm справедливо 
, поэтому, применяя предельный переход, получаем 
и в силу непрерывности функции существует точка x0 такая, что 
и, следовательно M = f(x0).
Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x0. Аналогично и для нижней грани.
