Скалярное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Скаля́рное произведе́ние — это функция $\langle\cdot,\cdot\rangle$ , в линейном пространстве $L$ над полем $P$ вещественных или комплексных чисел, отображающая $L \times L$ в $P$ и обладающая следующими свойствами:

$\forall x, y, z \in L \ \forall \alpha, \beta \in P, \ \langle\alpha x + \beta y,z\rangle = \alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$ (линейность по первому аргументу)
$\forall x, y \in L \ \langle x, y\rangle = \overline{\langle y, x\rangle}$ (эрмитова симметричность) (таким образом $\langle x, x\rangle$ - всегда вещественное число)
$\forall x \in L \ \langle x, x\rangle \ge 0$ , причём $\langle x, x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0$ (положительная определённость)

Скалярное произведение порождает норму в $L$ следующим образом: $||x|| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ . Эта норма связана с порождающим его скалярным произведением неравенством Коши — Буняковского.

Содержание

1 Пример
2 Скалярное произведение в евклидовом пространстве
3 См. также

[править] Пример

В пространстве $\mathbb R^n$ n-компонентных векторов над полем вещественных чисел $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n), x_i \in \mathbb R$ можно определить скалярное произведение так: $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ . Пространство $\mathbb R^n$ с введённым таким образом скалярным произведением становится Евклидовым пространством.

[править] Скалярное произведение в евклидовом пространстве

[править] Определение 1

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$\vec a \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \phi$

[править] Определение 2

Скалярным произведением двух векторов назывется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов:

$\vec a \vec b = |\vec b| Pr_{\vec b} \vec a$

[править] Геометрические свойства скалярного произведения

Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Два ненулевых вектора a и b составляют острый(тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно(отрицательно)

[править] Алгебраические свойства скалярного произведения

$\vec a \vec 0 = \vec 0 \vec a = 0$ (нулевой вектор)
$\vec a \vec b = \vec b \vec a$ (переместительное свойство)
$(\alpha \vec a) \vec b = \alpha (\vec a \vec b)$ (сочетательное свойство)
$(\vec a + \vec b) \vec c = \vec a \vec c + \vec b \vec c$ (распределительное свойство)
$\vec a \vec a = 0$ , если a - нулевой вектор, $\vec a \vec a > 0$ , если a - ненулевой вектор
$(\vec a \times \vec b) (\vec c \times \vec d) = \begin{vmatrix} \vec a \vec c && \vec a \vec d \\ \vec b \vec c && \vec b \vec d \end{vmatrix}$ (скалярное произведение двух векторных произведений)