Ковариантная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных на многообразиях. Ковариантную производную можно также определить как специальный способ задания связности на многообразии при помощи дифференциального оператора. Другой способ задания связности — через форму связности, здесть не рассматривается.

Содержание

1 Формальное определение
2 Ковариантная производная по направлению
3 См. также

[править] Формальное определение

Ковариантная производная $\nabla_c$ - это оператор, который отображает дифференцируемые тензорные поля типа (p,q) в множество тензорных полей типа (p,q+1) и обладает следующими свойствами ( $A, B$ - произвольные тензорные поля типа (p,q), $α$ и $β$ - произвольные вещественные числа):

Линейность: $\nabla_c(\alpha\mathit{A} + \beta\mathit{B}) = \alpha\nabla_c(\mathit{A}) + \beta\nabla_c(\mathit{B})$ .
Правило Лейбница: $\nabla_c(\mathit{A} \otimes \mathit{B}) = \nabla_c(\mathit{A})\otimes\mathit{B} + \mathit{A}\otimes\nabla_c(\mathit{B})$ .
Коммутативность относительно свертки по двум индексам: $\nabla_c ({A^{a_1...c...a_p}}_{b_1...c...b_q}) = \nabla_c {A^{a_1...c...a_p}}_{b_1...c...b_q}$ .
Согласованность с определением касательных векторов как операторов производных по направлению, действующих в пространстве скалярных функций: для любой скалярной функции $f$ и вектора $t a$ : $t(f) = t^a \nabla_a f$ .
Отсутствие кручения: для любой функции $f$ , $\nabla_a \nabla_b f = \nabla_b \nabla_a f$ .

Пятое условие иногда опускается, в этом случае многообразие оказывается многообразием с кручением. В общей теории относительности оператор ковариантной производной не имеет кручения. В общем случае для тензоров ковариантные произвольные не коммутируют. Степень некоммутативности ковариантных производных тензорных полей выражается через тензор кривизны многообразия.

[править] Ковариантная производная по направлению

Ковариантную производную можно еще определить как оператор ${\nabla}_\mathbf{v}$ (зависящий от векторного поля $\mathbf{v}$ ), который сопоставляет каждому дифференцируемому тензорному полю тензорное поле того же типа, и подчиняется определенным требованиям, обобщающим свойства обычной производной по направлению. n ковариантных производных от тензорного поля типа (p,q) по направлениям координат преобразуются как тензор типа (p,q+1) и определяют полную ковариантную производную $\nabla_c$ .

[править] Функции

Для скалярной функции $f$ ковариантная производная ${\nabla}_{\mathbf{v}} f$ совпадает с обычной производной действительной функции по направлению векторного поля $\mathbf{v}$ и обозначается $\partial_{\mathbf{v}} f$ .

[править] Векторные поля

Ковариантная производная $\nabla$ векторного поля ${\mathbf u}$ по направлению векторного поля ${\mathbf v}$ , обознаяаемая $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ определяется по следующим свойствам, для любого вектора v, векторных полей u, w и скалярных функций f и g:

$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ линейно по отношению к ${\mathbf v}$ , т.е. $\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ аддитивно относительно ${\mathbf u}$ , т.е. $\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ подчиняется правилу Лейбница, т.е. $\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f$ где $\nabla_{\mathbf v}f$ определено выше.

Заметим, что $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ в точке p зависит не только от значения v в точке p, но и от значений u в ее окрестности благодаря последнему свойству, правилу Лейбница. Это означает, что ковариантная производная не является тензором.

[править] Ко-векторные поля

Если задано поле ко-векторов (или 1-форм) $α$ , его ковариантная производная $\nabla_{\mathbf v}\alpha$ может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u

$\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).$

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v - тоже ковекторное поле.

[править] Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ( $\varphi$ и $ψ$ - произвольные тензоры):