Grup (matematică)
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Un grup este o noţiune matematică din cadrul algebrei.
[modifică] Definiţie
Un cuplu 
, format dintr-o mulţime nevidă G şi o lege de compoziţie internă "
" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:
- Axioma asociativităţii
-
-
- Oricare ar fi x,y,z din G,
- Oricare ar fi x,y,z din G,
-
-
- Axioma elementului neutru
-
-
- Există un element e în G, astfel încât
, oricare ar fi x din G
- Există un element e în G, astfel încât
-
-
- Axioma elementelor simetrice
-
-
- Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că
- Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că
-
- Dacă este satisfăcută şi axioma
-
- Axioma comutativităţii
-
-
- Oricare ar fi x,y din G, xoy = yox
-
- atunci grupul se numeşte grup comutativ sau abelian.
-
[modifică] Exemple
- Mulţimea numerelor întregi, împreună cu operaţia de adunare, reprezintă un grup abelian infinit.
- Mulţimea permutărilor de n elemente, împreună cu compunerea, reprezintă un grup necomutativ finit.
- Mulţimea matricelor
inversabile peste 
, împreună cu înmulţirea matriceală, reprezintă un grup necomutativ infinit.
