Wartość oczekiwana
Z Wikipedii
W rachunku prawdopodobieństwa wartość oczekiwana (inaczej wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematyczna) (dyskretnej) zmiennej losowej jest sumą iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi te wartości są przyjmowane.
Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości x1, x2, ... odpowiednio z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., wówczas wartość oczekiwaną ![E[X] \!](../../../math/a/6/b/a6b12e5810cb3f5afbafdf60274bdf56.png)
zmiennej losowej X definiujemy jako:
![E[X]=\sum_{i=1}^\infty x_i p_i.](../../../math/d/2/1/d212182d384b7548663a3f52a8f62370.png)
Ogólnie, jeżeli X jest zmienną losową zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P), to wartość oczekiwaną E[X] zmiennej losowej X definiujemy jako całkę :
![E[X]=\int\limits_\Omega^{} X dP.](../../../math/e/5/8/e581244f71eb3100db15ee33f4a060ba.png)
o ile ![E[|X|] = \int\limits_\Omega^{} |X| dP \!](../../../math/2/4/f/24fb1bff9a2e494e1a11e317c47fb6de.png)
istnieje. Mówimy wówczas o istnieniu wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej X lub że zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną.
Dowodzi się, że jeśli X jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x), to jej wartość oczekiwana wynosi
![E[X]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx.](../../../math/2/6/6/2663b62aef5b284a95546e367f56c90e.png)
Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Gdy Y = φ(x) (funkcja mierzalna)
![E[Y] = E[\phi(x)] = \int\limits_{R} \phi(x) f(x) dx](../../../math/a/0/5/a05701fb329bbe3268feb64936833f5c.png)
[edytuj] Własności
Jeżeli istnieją i ![E[Y] \!](../../../math/3/b/f/3bfecccd7455a1623d7f2f17cd70d57a.png)
to:
![E[c]=c\!](../../../math/1/8/9/189d4a09470345d0800c8e76e84b4735.png)
, gdzie c jest stałą![\forall_{a,b}\quad E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]](../../../math/3/e/a/3ea1336f493f74bcaa8f38860326444e.png)
(liniowość);- Jeżeli zmienne X,Y są niezależne, to E[XY] = E[X]E[Y]
Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki, przegląd zagadnień z zakresu statystyki
