Twierdzenie o monotoniczności wymiaru

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Twierdzenie o monotoniczności wymiaru jest jednym z podstawowych twierdzeń teorii wymiaru. Twierdzenie to występuje w trzech wersjach, odpowiadającym trzem podstawowym topologicznym definicjom wymiaru.

Spis treści

1 Twierdzenie o monotoniczności małego wymiaru indukcyjnego
2 Twierdzenie o monotoniczności dużego wymiaru indukcyjnego
3 Twierdzenie o monotoniczności wymiaru pokryciowego
4 Literatura

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności małego wymiaru indukcyjnego

[edytuj] Założenia

Niech X będzie przestrzenią regularną.
Niech M będzie podprzestrzenią X.

[edytuj] Teza

ind M ≤ ind X, gdzie ind oznacza mały wymiar indukcyjny.

[edytuj] Dowód

Jeśli ind X = ∞, prawdziwość twierdzenia wynika z właściwości liczby nieskończonej.
Dla ind X ≤ ∞, przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni X.
1. Jeśli ind X = -1, wtedy X = ∅, zatem M = ∅ skąd ind M = -1, zatem teza jest spełniona.
2. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni, których wymiar nie przekracza n - 1. Niech teraz X oznacza przestrzeń wymiaru nie większego niż n, a M pewną jej podprzestrzeń. Niech x ∈ M, oraz niech V oznacza otoczenie x w M. Z definicji topologii podprzestrzeni istnieje zbiór V₁ w przestrzeni X taki, że V = M ∩ V₁. ind X ≤ n, zatem z definicji wymiaru istnieje zbiór otwarty U₁ ⊂ X taki, że x ∈ U₁ ⊂ V₁ oraz ind bd U₁ ≤ n - 1. Zbiór U = M ∩ U₁ jest otwarty w M i x ∈ U ⊂ V. Zauważmy, że bd_MU = M ∩ cl_X(M ∩ U₁) ∩ cl_X(M \ U₁) ⊂ bdU₁, zatemna na mocy założenia indukcyjnego ind bd_MU ≤ n-1, zatem z warunku (MU2) definicji małego wymiaru indukcyjnego dostajemy ind M ≤ ind X ≤ n co kończy dowód.

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności dużego wymiaru indukcyjnego

[edytuj] Założenia

Niech X będzie przestrzenią mocno dziedzicznie normalną. Niech M będzie podprzestrzenią X.

[edytuj] Teza

Ind M ≤ Ind X, gdzie Ind oznacza duży wymiar indukcyjny.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności wymiaru pokryciowego

[edytuj] Założenia

Niech X będzie przestrzenią mocno dziedzicznie normalną. Niech M będzie podprzestrzenią X.

[edytuj] Teza

dim M ≤ dim X, gdzie dim oznacza wymiar pokryciowy.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Literatura

1. Ryszard Engelking "Teoria wymiaru" PWN 1977

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli możesz, rozbuduj go.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../t/w/i/Twierdzenie_o_monotoniczno%C5%9Bci_wymiaru.html"

Kategorie: Zalążki artykułów - matematyka • Topologia • Teoria wymiaru

Twierdzenie o monotoniczności wymiaru

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności małego wymiaru indukcyjnego

[edytuj] Założenia

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności dużego wymiaru indukcyjnego

[edytuj] Założenia

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie o monotoniczności wymiaru pokryciowego

[edytuj] Założenia

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Literatura

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj