Twierdzenie Sylowa
Z Wikipedii
Twierdzenie Sylowa z teorii grup opisuje istnienie podgrup specjalnego rodzaju (tzw. podgrup Sylowa). Jego autorem jest Peter Sylow, matematyk norweski.
Spis treści |
[edytuj] Założenia
W dalszej części artykułu p,q będą liczbami pierwszymi, z kolei 
. Niech G będzie grupą taką, że 
, gdzie p jest liczbą pierwszą i największy wspólny dzielnik (p,r) = 1. Liczbę p-podgrup Sylowa grupy G oznaczymy przez sp.
[edytuj] Teza
Jeżeli liczba pierwsza p dzieli rząd grupy G, to:
- grupa G zawiera p-podgrupę Sylowa.
oraz 
.- jeżeli H jest p-pogrupą Sylowa w G, zaś
dowolną p-podrupą, to istnieje element 
dla którego 
. W szczególności, każda p-podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p-podgrupie Sylowa. - jeżeli H1 oraz H2 są p-podgrupami Sylowa grupy G, to istnieje automorfizm wewnętrzny
grupy G taki, że 
(każde dwie p-podgrupy Sylowa są sprzężone).
[edytuj] Wnioski
- Jeżeli
, to istnieje w G element rzędu p (twierdzenie Cauchy'ego). Jeżeli każdy element ma rząd postaci pk, to G jest p-grupą. - Jeżeli p > q oraz | G | = pq, to istnieje w G dzielnik normalny rzędu p. Jeśli ponadto q nie jest dzielnikiem liczby p − 1, to grupa G jest cykliczna.
- Jeżeli , to
.
