群論において、シローの定理は、有限群の構造に関する定理である。シローの定理により、有限群の位数から部分群の存在などの情報が得られる。
p を素数とする。位数が、p のべき乗で位数最大の部分群を、シロー p-部分群と定義する。シロー p-部分群をSylp(G)と書くこともある。
シローの定理は、ルートヴィヒ・シローが、1872年発表した。(Mathematische Annalen)
有限群Gの位数が、p で割り切れるとき、Gの位数は(pn · s)とかける。ただしここで、n は、正の整数、s と p は互いに素。
定理1:位数 pn のシロー p-部分群が存在する。
定理2:全てのシロー p-部分群は共役である。つまり、H と K がシロー p-部分群ならば、g−1Hg = K を満たす g が存在する。
定理3:シロー p-部分群の数を、np とするとき
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