Odległość euklidesowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Odległość (metryka) euklidesowa to funkcja, która w naturalny (z punktu widzenia człowieka) sposób mierzy odległość między punktami zbioru $\mathbb R^n$ .

[edytuj] Formalna definicja

Odległość (metryka) euklidesowa $d_e(\bold{x},\bold{y})$ to metryka w zbiorze $\mathbb R^n$ $(n\in\mathbb N)$ , która parze punktów $\bold{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ , $\bold{y}=[y_1,y_2,\ldots,y_n]\in\mathbb R^n$ przyporządkowuje liczbę:

$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$

Przestrzeń metryczna z tak zdefiniowaną metryką to przestrzeń euklidesowa.

[edytuj] Własności

Z punktu widzenia algebry liniowej odległość euklidesową można zapisać jako:

$d_e(\bold{x},\bold{y}) = \sqrt{(\bold{x}-\bold{y})\cdot(\bold{x}-\bold{y})^T}$ ,

gdzie $\bold{x},\bold{y}$ są traktowane jako macierze jednowierszowe, $\cdot$ oznacza mnożenie macierzy, a $\bold{y}^T$ transpozycję $\bold{y}$ .

Zapis ten jest przydatny w programowaniu (np. grafiki 3D) lub rozwiązywaniu problemów optymalizacji. W ten sposób widać również, że odległość euklidesowa stanowi szczególny przypadek odległości Mahalanobisa.

Odległość euklidesowa stanowi również przypadek odległości Minkowskiego $L_m\,$ , z wartością parametru m = 2.

[edytuj] Interpretacja

Trójwymiarowy świat, w którym żyjemy, traktujemy intuicyjnie jako trójwymiarową przestrzeń euklidesową, powierzchnię Ziemi - jako dwuwymiarową przestrzeń euklidesową, a drogę bez zakrętów - jako jednowymiarową przestrzeń euklidesową. W każdym z tych trzech przykładów wiadomo, w jaki sposób mierzy się odległość między punktami. W taki sam sposób wyznacza się odległość między punktami zbioru $\mathbb R^n$ , gdy n jest równe, odpowiednio, 1, 2 lub 3.

Przyjęta definicja odległości euklidesowej jest zgodna z twierdzeniem Pitagorasa, będącym obserwacją związków między odległościami w otaczającym nas świecie.

Punkty o identycznej odległości euklidesowej od pewnego punktu centralnego tworzą na płaszczyźnie okrąg, a w trzech i większej liczbie wymiarów odpowiednio sferę i hipersferę

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../o/d/l/Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_euklidesowa.html"

Kategorie: Odległości • Topologia