Liczby Eulera

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.

kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami

permutacja

wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami

liczby Stirlinga
liczby Bella
liczby Eulera

zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń

edytuj ten szablon

Liczby Eulera - dwa ciągi liczbowe badane przez Leonarda Eulera.

Spis treści

1 Liczby Eulera I rzędu
- 1.1 Trójkąt liczbowy
- 1.2 Własności
2 Liczby Eulera II rzędu
- 2.1 Trójkąt liczbowy

[edytuj] Liczby Eulera I rzędu

Opisują ile jest permutacji n-elementowego zbioru posiadających k wzniesień, tzn. k pozycji, dla których $\pi _{j} < \pi _{j+1}\,$ . Symbolem dla liczb Eulera I rodzaju jest:

$\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle$

Liczby te spełniają wzór rekurencyjny postaci:

$\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle = (k+1) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle + (n - k) \left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle$

Z warunkami brzegowymi $\left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle = 1,\ \left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle = 0$

[edytuj] Trójkąt liczbowy

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	0
2	1	1	0
3	1	4	1	0
4	1	11	11	1	0
5	1	26	66	26	1	0
6	1	57	302	302	57	1	0
7	1	120	1191	2416	1191	120	1	0
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1	0
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1	0

[edytuj] Własności

$\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle = \sum _{m=0} ^{k} {n+1 \choose m }(k+1 -m)^{n}(-1)^{k}$

[edytuj] Liczby Eulera II rzędu

Liczby te są oznaczane jako:

$\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle$

spełniają równanie rekurencyjne postaci:

$\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = (k+1) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n-1\\ k\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle + (2n -1 -k) \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n - 1\\ k - 1\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle$

Z warunkami brzegowymi $\left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} 0\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ 0\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 1,\ \left\langle\!\!\left\langle \begin{matrix} n\\ n\\ \end{matrix} \right\rangle\!\!\right\rangle = 0$

[edytuj] Trójkąt liczbowy

n/k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	1	0
2	1	2	0
3	1	8	6	0
4	1	22	58	24	0
5	1	52	328	444	120	0
6	1	114	1452	4400	3708	720	0
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040	0
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320	0
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880	0