Algebra Liego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego są używane między innymi do studiowania grup Liego.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Związek z grupami Liego
4 Generatory Algebry Liego
5 Przykład: przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej
6 Przykład: obroty w przestrzeni trójwymiarowej.
7 Przykład: algebra su(2)
8 Zobacz też:

[edytuj] Definicja

Algebra Liego nad ciałem $\mathbb{K}$ (zwykle $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ lub $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ) to przestrzeń liniowa $L\,$ nad ciałem $\mathbb{K}$ z określonym nawiasem Liego, czyli działaniem dwuargumentowym

$[ , ] : L \times L \to L$

spełniającym dla dowolnych $x, y, z \in L$ i $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ warunki:

dwuliniowość:
- $[\alpha x + \beta z,y] = \alpha [x, y]+ \beta [z, y]\,$
- $[x ,\alpha y + \beta z] = \alpha [x, y]+ \beta [x, z]\,$
antysymetryczność:
- $[x, y] = - [y, x]\,$
tożsamość Jacobiego
- $[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0\,$

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przemienna algebra Liego

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

[edytuj] Iloczyn wektorowy

Nawias Liego w przestrzeni $\mathbb{R}^3$ definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

[edytuj] Komutator

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

$[a, b] = ab - ba\,$ .

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Szczególnymi przypadkami tego rodzaju algebr Liego są:

[edytuj] Algebra l(n, C)

Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n, o elementach zespolonych.

[edytuj] Algebra sl(n, C)

Algebra macierzy kwadratowych, wymiaru n, o elementach zespolonych, których ślad jest równy zero.

$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = \{ A \in \mathfrak{l}(n, \mathbb{C}): \mathrm{tr} A = 0 \}$

[edytuj] Algebra u(n, C)

Algebra macierzy kwadratowych, wymiaru n, o elementach zespolonych, które są antyhermitowskie.

$\mathfrak{u}(n, \mathbb{C}) = \{ A \in \mathfrak{l}(n, \mathbb{C}): A^{\dagger} = -A\}$

[edytuj] Algebra su(n, C)

Algebra macierzy kwadratowych, wymiaru n, o elementach zespolonych, których ślad jest równy zero i które są antyhermitowskie.

$\mathfrak{su}(n, \mathbb{C}) = \{ A \in \mathfrak{l}(n, \mathbb{C}): \mathrm{tr} A = 0 \wedge A^{\dagger} = -A\}$

[edytuj] Algebra so(n, R)

Algebra macierzy kwadratowych, wymiaru n, o elementach rzeczywistych, które są antysymetryczne. W szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zero.

$\mathfrak{so}(n, \mathbb{R}) = \{ A \in \mathfrak{l}(n, \mathbb{R}): A^{\mathrm{T}} = -A\}$

[edytuj] Związek z grupami Liego

Aby opisać grupę, często podaje się jedynie kilka jej elementów, z których można wyprowadzić wszystkie inne elementy za pomocą działania grupowego. Zbiór takich elementów nazywa się zbiorem generatorów. Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów do definicji bazy przestrzeni wektorowej.

[edytuj] Generatory Algebry Liego

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) $X = x i e i$ . Algebra ta zdefiniowana jest przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

[e_i,e_j] =	∑	f_ijke_k.
	k

Współczynniki $f i j k$ nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zero, to algebra (grupa) jest zwana abelową (przemienną).

[edytuj] Przykład: przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X, Y, Z. Algebra Liego tej grupy to

[X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0

Jest to grupa abelowa.

[edytuj] Przykład: obroty w przestrzeni trójwymiarowej.

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ . Algebra Liego tej grupy:

[e 1, e 2] = e 3

[e 2, e 3] = e 1

[e 3, e 1] = e 2

Stałe strukturale $f i, j, k = ε i, j, l$ określone są przez symbol Levi-Civity (1,-1 gdy jest to parzysta lub nieparzysta permutacja (1 2 3) lub 0 gdy któryś z wskaźników się powtarza).

Jeżeli obrócimy układ o 90° w prawo wokół osi Ox, 90° w prawo wokół osi Oy, 90° w lewo wokół osi Ox, 90° w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia. Układ będzie obrócony o 90° w lewo wokół osi Oz i 90° w lewo wokół osi Oy. Zatem nie jest to grupa abelowa.

[edytuj] Przykład: algebra su(2)

Zbiór bezśladowych macierzy 2x2 (Tr(X)=0) rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego $σ i$ (macierze Pauliego są także używane do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatory algebry su(2) to:

$e_i=-\frac{1}{2}i \sigma_i$

Algebra su(2) jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Zobacz też:

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../a/l/g/Algebra_Liego_f4eb.html"

Kategoria: Algebra