Spline

Een spline is een wiskundige beschrijving van een kromme met aaneengeschakelde stukjes polynoom. Als er sprake is van eerstegraads polynomen resteert een lineaire spline en wordt de kromme benaderd met een verzameling aaneengesloten rechte lijnstukjes. Het woord 'spline' stamt uit de scheepsbouw waarbij houten planken over de romp gebogen worden, zodanig dat er een aansluitend glad oppervlak resulteert.

[bewerk] Wiskundige Beschrijving

[bewerk] Definitie

Gegeven k+1 verschillende punten ("knopen") x_i die aan de volgende voorwaarde voldoen:

$x_0 < x_1 < ... < x_{k-1} < x_k, \,\!$

en gegeven k+1 knoopwaarden y_i zoeken we een wiskundige functie (spline) van de vorm

$S(x) := \left\{\begin{matrix} S_0(x) & x \in [x_0, x_1] \\ S_1(x) & x \in [x_1, x_2] \\ \vdots & \vdots \\ S_{k-1}(x) & x \in [x_{k-1}, x_k] \end{matrix}\right.$

Iedere S_i(x) is een veelterm van een vooraf bepaalde n-de graad.

[bewerk] Lineaire spline ( n = 1 )

Dit is de eenvoudigste vorm van een spline: gewoon een polygoon. Grafisch kunnen we de punten gewoon verbinden.

Iedere functie S_i van hierboven wordt dan:

$S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)$

De eerste (bij lineaire ook de enige) voorwaarde die opgelegd wordt, is dat in de knopen de overgang tussen de verschillende S_i continu moeten zijn:

$S_i(x_i) = S_{i+1}(x_i) \qquad \mbox{ , } i=0,\ldots k -1$

M.b.v. de voorwaarde kunnen we dan de gezochte functies S_i vinden:

$S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x_i-x_{i-1}) = y_i$

$S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x_i-x_i) = y_i$

[bewerk] Kwadratische spline ( n = 2 )

Voor het opstellen van de kwadratische spline (van de vorm ax²+bx+c) gebruiken we de volgende formule:

$S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2$

De overgangen tussen verschillende S_i moeten continu zijn (eerste voorwaarde), maar ook de eerste afgeleide in de overgangspunten moeten gelijk zijn (tweede, extra voorwaarde). De voorwaarden zijn dan:

$S_i(x_i) = S_{i+1}(x_i) \qquad \mbox{ , } i=0,\ldots k -1$

$S'_i(x_i) = S'_{i+1}(x_i) \qquad \mbox{ , } i=0,\ldots k -1$

De coëfficiënten kunnen als volgt worden bepaald:

$z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

[bewerk] Kubische spline ( n = 3 )

Zeer analoog aan de kwadratische spline. Opnieuw hebben we een extra reeks voorwaarden nodig, namelijk dat de tweede afgeleide continu in de overgangspunten is. Alle voorwaarden op een rijtje:

S i (x i) = S i + 1 (x i)

S' i (x i) = S' i + 1 (x i)

$S''_i(x_i) = S''_{i+1}(x_i) \qquad \mbox{ , } i=0,\ldots k -1$

[bewerk] Praktisch opstellen

In de praktijk worden splines van verschillende graad m.b.v. matrices bepaald.

[bewerk] Randvoorwaarden

Belang randvoorwaarden: twee splines gemaakt met dezelfde punten, maar andere raaklijnen in begin- en eindpunt

Bij een spline gemaakt uit n punten, zijn n-1 veeltermen nodig. Iedere veelterm moet aan een aantal voorwaarden voldoen (door punten gaan, afgeleide in punt). Bij hogeregraads splines zijn echter vrijheidsgraden over: terwijl een eerstegraadsspline onmiddellijk vast ligt, kunnen aan een derdegraads splines nog 2 voorwaarden opgelegd worden. We kunnen deze voorwaarden invullen door een begin- en eindrichting aan te geven (eerste afgeleide in begin en eind gekend), of te eisen dat de tweede afgeleide in de eindpunten 0 is.

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Punten

Hier de punten waartussen we een kromme, Spline willen geconstrueerd zien:

[bewerk] Lineair

Hierbij verbinden we doodgewoon de punten. Je ziet snel dat er geen vrijheidsgraden zijn, ieder stukje is vast bepaald.

[bewerk] Kwadratisch

Zoals hierboven besproken, blijft er één vrijheidsgraad over, die naar wens ingevuld kan worden (ergens raaklijn definiëren, of in een eindpunt de tweede afgeleide nul stellen).