Absolute continuïteit

In de wiskundige analyse wordt de term absolute continuïteit zowel voor functies als voor maten gebruikt. Beide begrippen zijn nauw met elkaar verwant in de context van de Lebesguemaat op $\mathbb{R}$ .

Inhoud

1 Absoluut continue functie
2 Absoluut continue maat
- 2.1 Voorbeelden
3 Verband tussen de twee begrippen
4 Stelling van Radon-Nikodym

[bewerk] Absoluut continue functie

Een reëel-waardige functie f heet absoluut continu als voor elk positief getal ε er een positief getal δ is zo dat, als een rij van paarsgewijs disjuncte intervallen [x_k, y_k], k = 1, ..., n voldoet aan

$\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)<\delta$

dan

$\sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon.$

Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke Lipschitz-continue functie is absoluut continu.

De Cantorfunctie is overal continu, maar niet absoluut continu.

[bewerk] Absoluut continue maat

Zij $(X,\mathcal{A})$ een meetbare ruimte, en zijn $μ$ en $ν$ twee maten op die ruimte. Dan heet $ν$ absoluut continu ten opzichte van $μ$ , genoteerd $\nu\ll\mu$ , als elke nulverzameling voor $μ$ ook een nulverzameling is voor $ν$ :

$\forall N\in\mathcal{A}:\mu(N)=0\implies\nu(N)=0$

[bewerk] Voorbeelden

Zij $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ een niet-negatieve Lebesgue-integreerbare functie. De maat $μ$ , gedefinieerd door het voorschrift

μ(A) =	∫	f(x)dx
	A

is absoluut continu ten opzichte van de Lebesguemaat.

De Diracmaat $ν$ , die aan Lebesgue-meetbare verzamelingen de waarde 1 of 0 toekent naargelang de verzameling het getal 0 bevat of niet, is niet absoluut continu ten opzichte van de Lebesguemaat.

[bewerk] Verband tussen de twee begrippen

Een maat $μ$ op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de Lebesguemaat als en slechts als haar verdelingsfunctie

$x\mapsto F(x)=\mu((-\infty,x])$

een absoluut continue functie is.

[bewerk] Stelling van Radon-Nikodym

Als $μ$ en $ν$ eindige maten zijn op een meetbare ruimte $(X,\mathcal{A})$ , en $\nu\ll\mu$ , dan bestaat er een $μ$ -integreerbare reële functie $f$ op $X$ met de eigenschap dat

$\forall S\in\mathcal{A}:\nu(S)=\int_Sfd\mu$

In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de verdelingsmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de Lebesguemaat, dan heeft de veranderlijke een kansdichtheid. We spreken dan van een continue stochastische variabele.

Als $ν$ niet absoluut continu is ten opzichte van $μ$ , dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.

Categorie: Analyse