케일리-해밀턴 정리
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리는 실수체, 혹은 복소체에서 정의된 모든 정사각행렬이 특성 방정식을 만족한다는 정리이다. 수학자 아더 케일리와 윌리엄 해밀턴의 이름에서 따왔다.
A 행렬이 n×n 정사각행렬이고 In 가 n×n 단위 행렬일때, A 의 특성 다항식은 다음과 같이 정의한다.
여기서 "det"은 행렬식 기호이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 위 다항식에 A 행렬을 대입하면 영행렬을 얻는다
케일리-해밀턴 정리는 가환환에서 정의된 모든 정사각행렬에 대해 성립한다.
[편집] 예제
A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.
이때 특성 다항식은 다음과 같다.
케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.
- A2 − 5A − 2I2 = 0
실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.
- A2 − 5A − 2I2 = 0
- A2 = 5A + 2I2.
윗식을 통해 A4를 계산하면 다음과 같다.
- A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
- A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
- A4 = 145A + 54I2.
이 정리는 또한 행렬의 고유치(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvecter)를 구하는 중요한 도구이다.
 |
이 문서는 수학에 관한 토막글입니다. 서로의 지식을 모아 알차게 문서를 완성해 갑시다. |
