초완전수
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자연수 n이 n = 1 + k(σ(n) - n - 1) (단, σ(n)는 자기 자신을 제외한 n의 양의 약수의 합)을 만족했을 때, n을 k-초완전수(超完全數)라 부른다. 어떤 수가 완전수인 것은 그 수가 1-초완전수인 것과 동치이다.
모든 k-초완전수를 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다. 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS의 A034897) 여기에서 각각의 수에 해당하는 k 값은 다음과 같다. 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS의 A034898) 완전수를 제외한 모든 k-초완전수를 나열하면 다음과 같다. 21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS의 A007592)
다음 표는 k값에 대한 알려진 k-완전수를 해당하는 OEIS 순열과 함께 나타내고 있다.
| k | OEIS | 알려진 k-초완전수 |
|---|---|---|
| 1 | A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | 325, ... | |
| 4 | 1950625, 1220640625, ... | |
| 6 | A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | 159841, ... | |
| 11 | 10693, ... | |
| 12 | A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | 51301, ... | |
| 30 | 3901, 28600321, ... | |
| 31 | 214273, ... | |
| 35 | 306181, ... | |
| 40 | 115788961, ... | |
| 48 | 26977, 9560844577, ... | |
| 59 | 1433701, ... | |
| 60 | 24601, ... | |
| 66 | 296341, ... | |
| 75 | 2924101, ... | |
| 78 | 486877, ... | |
| 91 | 5199013, ... | |
| 100 | 10509080401, ... | |
| 108 | 275833, ... | |
| 126 | 12161963773, ... | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, ... | |
| 136 | 156276648817, ... | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, ... | |
| 140 | 1118457481, ... | |
| 168 | 250321, ... | |
| 174 | 7744461466717, ... | |
| 180 | 12211188308281, ... | |
| 190 | 1167773821, ... | |
| 192 | 163201, 137008036993, ... | |
| 198 | 1564317613, ... | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, ... | |
| 222 | 348231627849277, ... | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |
| 252 | 389593, 1218260233, ... | |
| 276 | 72315968283289, ... | |
| 282 | 8898807853477, ... | |
| 296 | 444574821937, ... | |
| 342 | 542413, 26199602893, ... | |
| 348 | 66239465233897, ... | |
| 350 | 140460782701, ... | |
| 360 | 23911458481, ... | |
| 366 | 808861, ... | |
| 372 | 2469439417, ... | |
| 396 | 8432772615433, ... | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, ... | |
| 408 | 1238906223697, ... | |
| 414 | 8062678298557, ... | |
| 430 | 124528653669661, ... | |
| 438 | 6287557453, ... | |
| 480 | 1324790832961, ... | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, ... | |
| 546 | 211125067071829, ... | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, ... | |
| 660 | 13786783637881, ... | |
| 672 | 142718568339485377, ... | |
| 684 | 154643791177, ... | |
| 774 | 8695993590900027, ... | |
| 810 | 5646270598021, ... | |
| 814 | 31571188513, ... | |
| 816 | 31571188513, ... | |
| 820 | 1119337766869561, ... | |
| 968 | 52335185632753, ... | |
| 972 | 289085338292617, ... | |
| 978 | 60246544949557, ... | |
| 1050 | 64169172901, ... | |
| 1410 | 80293806421, ... | |
| 2772 | A028502 | 95295817, 124035913, ... |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |
| 31752 | A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
목차 |
[편집] 성질
k가 1보다 큰 홀수이고 p = (3k + 1) / 2, q = 3k + 4가 모두 소수라면 p²q가 k-초완전수라는 것이 증명이 되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine이 모든 1보다 큰 홀수 k에 대해 모든 k-초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 p와 q가 존재하고 k(p + q) = pq - 1를 만족하는 자연수 k가 있다면 pq는 k-초완전수이다.
k가 0보다 크고 p = k + 1이 소수일 때, q = pi - p + 1이 소수임을 성립시키는 모든 i에 대해 pi - 1q가 k-초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 테이블은 이를 만족시키는 k와 i의 목록을 나타내고 있다.
| k | OEIS | 가능한 i의 값 |
|---|---|---|
| 16 | A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, ... |
| 22 | 17, 61, 445, ... | |
| 28 | 33, 89, 101, ... | |
| 36 | 67, 95, 341, ... | |
| 42 | A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, ... |
| 46 | A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, ... |
| 52 | 21, 173, ... | |
| 58 | 11, 117, ... | |
| 72 | 21, 49, ... | |
| 88 | A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, ... |
| 96 | 6, 11, 34, ... | |
| 100 | A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
[편집] 링크
- MathWorld: 초완전수 (영문)
[편집] 참고문헌
[편집] 논문
- Daniel Minoli, Robert Bear, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
- Daniel Minoli, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
- Daniel Minoli, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
- Daniel Minoli, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
- Daniel Minoli, New Results For Hyperperfect Numbers, Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561.
- Daniel Minoli, W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
- Judson S. McCranie, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html
[편집] 책
- Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0071406158 (p.114-134)
