기수법
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[편집] 기수법의 종류
가장 간단한 기수법은 1진법으로, 모든 자연수를 그 수 만큼의 기호로 표현하는 방법이다. 예를 들어서 숫자 7은 *******라고 표현할 수 있다. 일반적으로 1진법은 작은 숫자에 대해서만 유용하지만, 컴퓨터 과학 분야에서 사용되기도 한다.
1진법 표기는 좀 더 큰 값을 나타내는 다른 기호를 도입해서 간소화할 수 있다. 보통 이 기호들은 10의 거듭제곱을 표시하는 경우가 많다. 예를 들어서, *로 1을 나타내고, #로 10을 나타내고, @로 100을 나타낸다면, 403은 @@@@ ***로, 125는 @ ## *****로 간단하게 나타낼 수 있다. 고대 이집트 수 체계가 이러한 방법을 사용하며, 로마 숫자는 이 방법의 확장이다.
어떤 기호가 반복된 횟수를 나타내기 위한 특별한 기호를 도입해서 이를 더 간소화할 수 있다. 예를 들어서, 라틴 알파벳의 첫 아홉 글자(A부터 I까지)를 각각 "한 번"부터 "아홉 번"을 나타내기 위해서 사용한다면, 403이라는 숫자를 D@ C*라고 표현할 수 있다. 문자로 나타낼 때의 수 체계와 상관 없이, 한국어("사백 삼")와 영어("four hundred [and] three")를 비롯한 많은 자연어들이 이런 방법을 사용한다.
이보다 더 발전된 형태는 위치 기수법이다. 앞에서 사용한 "한 번"부터 "아홉 번"까지의 기호에 0을 나타내는 o라는 기호를 덧붙이고, 이 기호가 실제로 의미하는 값은 기호의 위치에 따라 10의 거듭제곱을 곱해서 표시한다고 하면, 2005라는 숫자는 BooE로 표현할 수 있다. 이 때 0은 해당 거듭제곱을 "건너 뛰기" 위해서 필요하며, 다른 수 체계에서는 사용하지 않지만 매우 중요한 역할을 한다. 인도로부터 유래한 아라비아 숫자는 10을 밑으로 하는 위치 기수법으로, 현재 세계적으로 널리 쓰이고 있다.
위치 기수법을 사용한 계산은 앞에서 설명한 다른 기수법을 사용할 때보다 훨씬 쉽다. 또한 위치 기수법은 가능한 어떤 숫자를 표현하기 위해서 무한히 많은 기호를 도입할 필요가 없다. 예를 들어서 아라비아 숫자의 경우 0부터 9까지의 10개의 기호만으로 모든 자연수를 표현할 수 있다.
[편집] 사용되는 기수법
10진 위치 기수법은 현재 가장 널리 사용되고 있다. 이는 인간이 열 개의 손가락을 가지고 있다는 데서 유래한 것으로 보인다.
현재까지 역사적으로 사용되었거나 현재 사용되고 있는 기수들은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 20, 60이 있다. 그 중 2진법과 8진법, 그리고 16진법은 컴퓨터에서 자주 사용된다.
[편집] 위치 기수법
b진 위치 기수법은 (이 때 양의 자연수 b를 기수라 한다) 0부터 시작해서 처음 b개의 자연수를 나타내는 b개의 기본적인 기호를 사용한다. 나머지 숫자들을 표현할 때는 기호의 위치를 사용한다. 마지막으로 나타나는 기호는 그 기호가 나타나내는 값과 같은 숫자를 나타내고, 왼쪽으로 갈 수록 그 자릿값은 b의 거듭제곱으로 커진다.
예를 들어서, 10진법에서 1729라는 숫자는 (1×103) + (7×102) + (2×101) + (9×100)를 의미한다. 일반적으로 b진법에서는, a1bk + a2bk-1 + a3bk-2 + ... + ak+1b0라는 숫자가 a1a2a3...ak+1로 표현된다. 사용되는 기호는 0부터 b-1까지의 자연수들이다.
여러 종류의 기수를 사용할 때 혼동을 줄이기 위해서, 보통 10진법으로 표시된 기수를 숫자 오른쪽에 작은 글자로 붙인다. (172910 처럼) 문맥에서 다른 기수를 사용하지 않는다면, 기수가 표시되지 않은 숫자들은 10진법으로 본다.
위치 기수법에서 소수는 숫자들을 두 부분으로 나누는 점을 사용해서 표현한다. 예를 들어서, 2진법 숫자 10.11은 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 = 2.75를 나타낸다.
따라서 일반적으로 b진법 숫자는 다음과 같은 형태로 정의한다:
bk와 b-k는 해당하는 자리의 가중치이다.
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