극관성 모멘트

극관성 모멘트(極慣性-, polar moment of inertia)는 비틂에 저항하는 성질을 나타낸 값이다. 돌림힘이 작용하는 물체의 비틀림을 계산하기 위해서 필요하다. 휨에 대한 저항을 나타낸 값인 단면 이차 모멘트(처짐을 계산하는 데 필요함)와 유사하다.

극관성 모멘트의 값이 클수록, 같은 돌림힘이 재하되었을 때 비틀림은 작아진다.

[편집] 정의

임의의 단면에 대한 극관성 모멘트

오른쪽의 그림과 같은 임의의 단면에 대해서 극관성 모멘트는

$I_p = \int^{}_{A} \rho ^2 dA$

로 정의된다. 여기서

한편, $ρ 2 = x 2 + y 2$ 이므로,

$I_p = \int^{}_{A} ( x^2 + y^2 ) dA = \int^{}_{A} x^2 dA + \int^{}_{A} y^2 dA = I_y + I_x$

로도 나타낼 수 있다. 이때 I_x, I_y는 각각 x축, y축에 대한 단면 이차 모멘트이다.

극관성 모멘트를 I_p 대신 J로 나타내기도 한다.

극관성 모멘트의 SI 단위는 단면 이차 모멘트과 같은 네제곱 미터(m⁴)이다. 영미 관습 단위계에서는 네제곱 인치(in.⁴)도 사용된다.

극관성 모멘트는 비틂으로 인한 전단 응력과 비틀림각에 대한 공식에 나타난다.

비틀림 공식:

$\tau = \frac{T \rho}{I_{p}}$

원형단면봉에 대해서, 비틂으로 인한 최대 전단 응력은 단면의 가장 바깥 표면(돌림힘이 최대)에서 발생한다. 즉:

$T_{max} = \frac{{\tau}_{max} I_{p}}{r}$

단면의 반지름이 r인 원형단면봉의 단면 도심을 지나며 단면에 수직한 중심축에 대한 극관성 모멘트:

$I_{p} = \int \rho ^2 dA = \int ^r _0 2 \pi \rho ^3 d \rho = \frac{\pi r^4}{2}$