결정학적 점군

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결정학적 점군이란 결정이 갖는 회전이나 반사와 같은 대칭조작의 모음이라고 할 수 있다. 즉, 무한한 크기의 결정이 있을 때 그 결정이 가진 대칭조작의 모음이 곧 그 결정이 속한 점군이 된다. 결정을 분류할 때 각 점군은 하나의 결정족에 대응된다.

3차원에는 무한히 많은 점군이 존재하지만 실제 결정은 대칭조작 뿐만 아니라 격자 상수에 따른 병진도 있으므로 32개의 점군만이 결정에 적용이 가능하다.

[편집] 표현

점군은 그 점군을 구성하는 대칭조작들로 표현된다.

[편집] 쇤플리스 표기법

쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다.

O(Octahedron:팔면체)는 팔면체의 대칭성을 가지고 있음을 의미하며 반사조작이 있는 경우 O_h, 없는 경우 O로 표현된다.

T(Tetrahedron:사면체)는 사면체의 대칭성을 가지고 있음을 의미하며 반사조작이 있는 경우 T_d, 없는 경우 T, 반전조작이 있는경우 T_h로 표현된다.

C_n(Cyclic:순환)은 n회 회전축을 가지고 있음을 의미하며 회전축에 수직한 거울면이 있는 경우 C_nh, 회전축에 평행한 거울면이 있는 경우 C_nv로 표현된다.

S_n(Spiegel:독일어로 거울)은 n회 회전반사축을 가지고 있음을 의미한다.

D_n(dihedral)은 n회 회전축과 그 축에 수직한 2회 회전축을 가지고 있음을 의미하며 거기에 더해 n회 회전축에 수직한 거울면이 있는 경우 D_nh, n회 회전축에 평행한 거울면이 있는 경우 D_nv로 표현된다.

n=1,2,3,4 또는 6이다. 왜냐하면 1,2,3,4,6회전만이 결정의 격자 상수에 따른 병진 대칭이 가능하기 때문이다.

[편집] 헤르만-모긴 표기법

주로 공간군의 표현에 쓰이는 헤르만-모긴 표기법으로도 점군의 표현이 가능하다. 이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각

1, 1
2, m, ²⁄_m
222, mm2, mmm
4,4, ⁴⁄_m, 422, 4mm, 42m, ⁴⁄_mmm
3, 3, 32, 3m, 3m
6, 6, ⁶⁄_m, 622, 6mm, 62m, ⁶⁄_mmm
23, m3, 432, 43m, m3m

이다.

[편집] 결정계에 따른 점군의 총람

결정계	점군 / 결정족	쇤플리스	헤르만-모긴	orbifold	유형
삼사정계	triclinic-pedial	C₁	$1\$	11	enantiomorphic polar
삼사정계	triclinic-pinacoidal	C_i	$\bar{1}$	1x	centrosymmetric
단사정계	monoclinic-sphenoidal	C₂	$2\$	22	enantiomorphic polar
	monoclinic-domatic	C_s	$m\$	1*	polar
	monoclinic-prismatic	C_2h	$2/m\$	2*	centrosymmetric
사방정계	orthorhombic-sphenoidal	D₂	$222\$	222	enantiomorphic
	orthorhombic-pyramidal	C_2v	$mm2\$	*22	polar
	orthorhombic-bipyramidal	D_2h	$mmm\$	*222	centrosymmetric
정방정계	tetragonal-pyramidal	C₄	$4\$	44	enantiomorphic polar
	tetragonal-disphenoidial	S₄	$\bar{4}$	2x
	tetragonal-dipyramidal	C_4h	$4/m\$	4*	centrosymmetric
	tetragonal-trapezoidal	D₄	$422\$	422	enantiomorphic
	ditetragonal-pyramidal	C_4v	$4mm\$	*44	polar
	tetragonal-scalenoidal	D_2d	$\bar{4}2m\$ or $\bar{4}m2$	2*2
	ditetragonal-dipyramidal	D_4h	$4/mmm\$	*422	centrosymmetric
삼방정계	trigonal-pyramidal	C₃	$3 \!$	33	enantiomorphic polar
	rhombohedral	S₆ (C_3i)	$\bar{3}$	3x	centrosymmetric
	trigonal-trapezoidal	D₃	$32\$ or $321\$ or $312\$	322	enantiomorphic
	ditrigonal-pyramidal	C_3v	$3m\$ or $3m1\$ or $31m\$	*33	polar
	ditrigonal-scalahedral	D_3d	$\bar{3} m$ or $\bar{3} m 1$ or $\bar{3} 1 m$	2*3	centrosymmetric
육방정계	hexagonal-pyramidal	C₆	$6\$	66	enantiomorphic polar
	trigonal-dipyramidal	C_3h	$\bar{6}$	3*
	hexagonal-dipyramidal	C_6h	$6/m\$	6*	centrosymmetric
	hexagonal-trapezoidal	D₆	$622\$	622	enantiomorphic
	dihexagonal-pyramidal	C_6v	$6mm\$	*66	polar
	ditrigonal-dipyramidal	D_3h	$\bar{6}m2$ or $\bar{6}2m$	*322
	dihexagonal-dipyramidal	D_6h	$6/mmm\$	*622	centrosymmetric
입방정계	tetartoidal	T	$23\$	332	enantiomorphic
	diploidal	T_h	$m\bar{3}$	3*2	centrosymmetric
	gyroidal	O	$432\$	432	enantiomorphic
	tetrahedral	T_d	$\bar{4}3m$	*332
	hexoctahedral	O_h	$m\bar{3}m\$	*432	centrosymmetric