符号 (数学)

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符号理論における符号については、符号を参照。

数学において符号（ふごう、sign）は、ある対象を二分するための符牒として用いる記号の一種である。符号には正符号（プラス） "+" と負符号（マイナス） "−" がある。形の上では加法演算と減法演算を表す演算子と同じ記号であるが、その意味するところは厳密には異なることに注意すべきである。

[編集] 符号つきの数

数 a に符号が付されるとき、それは二項演算 0 + a、或いは 0 − a の略記であるとみなされる。実際にはこの場合の符号は関係式

a + (−a) = 0

によって、負符号のみが導入され、+a とは a のことであるとするのが普通である。

[編集] 正符号

正符号あるいは正号（せいごう、plus sign）は数字や定数、変数の前（左）に付して用いられる十字の記号である。

形の上では加法演算子と同一であり、加法演算子の起源はラテン語の et を崩したものであるといわれる。たとえば、+3 のように書く。+3 は、0 よりも 3 大きい数である。しかし単に 3 と書けば、それは多くの場合 +3 を意味するため、特に正の数であることを強調して表す場合の他は、正号を省略して記述することが多い。

[編集] 負符号

負符号あるいは負号（ふごう、minus sign）は数字や定数、変数の左に付して用いられ、負（マイナス）の数を表す短い横棒である。

−

この記号は減法演算子と同一の形状を持っており、減法演算子の起源は minus の崩したものであるといわれる。たとえば、−3 のように書く。−3 は、0 よりも 3 小さい数である。コンピューターの文字コードでは多くの場合、減法演算子（引き算記号）及びハイフンと同一である。

[編集] 複号

符号のみが異なる複数の値や式を一つにまとめて表すことがある。 ± や $\mp$ のように、+ と − をあわせた記号を複号（ふくごう）という。± は「プラスマイナス」 $\mp$ は「マイナスプラス」と読まれる。±a とは「+a または - a」という意味である。a = 0 の場合は、a = -a であるので、±0 は異なる値をまとめた表現とは言えない。但し、実験や測定などにおいて、正負の値を取るものについて正の側でも負の側でも無い丁度 0 であることを強調するために、 ±0 という表現が用いられることがある。例えば、温度の測定にて丁度セ氏 0 度であることを表現するためにセ氏 ±0 度のように表記される場合がある。

[編集] 複号による略記法

a ± b ± c （複号同順）

と書かれる場合、この末尾の複号同順（ふくごうどうじゅん）とは、二段に並んでいる符号の内「上段だけを読んで得られる式」あるいは「下段だけを読んで得られる式」の 2つを表すという意味であり、この場合であれば

a + b + c
a − b − c

の 2つを表す。また、

$a \pm b \mp c$ （複号同順）

であれば、

a + b − c
a − b + c

の 2つを表す。さらに項の数が多くなっても同様に、上段と下段の2通りしか表さない。一方、

a ± b ± c （複号任意）

と書かれる場合、この末尾の複号任意（ふくごうにんい）とは、二段に並んでいる符号の内「どの符号も自由に選んで得られる式」の全てという意味になる。この場合であれば、

a + b + c
a + b − c
a − b + c
a − b − c

の 4通りの式を表すことになる。項の数が多くなっても同様に用いることができるが、非常に多くの式を表すことになる。

[編集] 正負の数

正符号がとくに意味を持って用いられるとき、それは 0 より大きい数であるという特別な意味を持ち、同時に負符号にも 0 より小さい数であるという特別な意味が付される。具体的には自然数に対する整数、とくに負の整数に対して負符号が付され、それと相対するものとして正の整数に正符号が付される。このような特別の意味での正負の符号は、整数から有理数、実数への数の拡大において保たれる：

${\rm sign}(x) = \begin{cases} + & \mbox{ if }x > 0,\\ - & \mbox{ if }x < 0. \end{cases}$