環 (数学)

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環（かん、ring）とは、加法と乗法と呼ばれる二つの二項演算によって定まる代数的構造を備えた集合である。整数全体のなす集合は普通の意味での加法と乗法によって環になっている。環の性質についての研究体系を総称して環論（かんろん）といい、おおまかに可換環論と非可換論に分けることができる。代数幾何学や整数論とは直接の関係があるが、その他数学のほとんどの分野で広く応用されている。

この記事では、環、単位的環（ユニタリー環）、可換環と非可換環、零因子、整域、部分環、剰余環、環の凖同型・同型、単項イデアル環・単項イデアル整域、ユークリッド整域、単元（可逆元）、単元群（単数群）、既約元、素元について順次説明している。

定義

環 R とは、加法 "+" についてアーベル群であり、更に乗法 "*" に関して任意の R の元 a, b, c が次の性質を持つものである。

結合法則: $a * (b * c) = (a * b) * c$
左分配法則: $a * (b + c) = (a * b) + (a * c)$
右分配法則: $(a + b) * c = (a * c) + (b * c)$

更に R が乗法の単位元 1 を持つとき、すなわち R の任意の元 a に対して、

a * 1 = 1 * a = a

を 1 が満たすとき、 R は単位的環（ユニタリー環）と呼ばれる。単位的環に限って環と呼ぶ流儀もある。

R が乗法について可換であるとき、すなわち R の任意の元 a,bが

a * b = b * a

を満たすとき、 R を可換環という。環というとき可換環のみを指している本もある。可換でない環を非可換環という。

乗法演算の記号 * は普通省略されて、a * b は、ab と書かれる。

定義から直ちに次の事実が確かめられる：a0 = 0a = 0 である。なぜなら、

0 = a 0 - a 0 = a (0 + 0) - a 0 = a 0 + (a 0 - a 0) = a 0 + 0 = a 0

であるからである。0a = 0 も同様。また単位元的環について、1 = 0 とすると任意の元は 0 に等しい。なぜなら、a = a1 = a0 = 0 であるからである。従って、単位的環を扱うときは 1 と 0 が等しくないことを仮定するのが普通である。

-a = (-1)a, (-a)(-b) = ab

なども整数と同じように成り立つ。

例

環論の歴史的な動機付けとなった例は整数全体のなす環である。
有理数全体の成す集合 Q、実数の全体の成す集合 R あるいは複素数の全体の成す集合 C はそれぞれ環をなす。実際、それらは体でもある。
n を正の整数とするとき、 n を法とする整数の集合 Z / nZ は環である（この記法については、以下の剰余環を参照）。
閉区間 [a, b] で定義されるすべての実数値連続関数のなす集合 C[a, b] は環（さらに結合代数）をなす。演算は関数の値ごとに加法と乗法で入れる。すなわち、関数 f(x) および g(x) の和と積は、次のような値をとる関数として定義される。

$(f + g)(x) = f (x) + g (x)$

$(f g)(x) = f (x) g (x)$
係数をある環 R に持つ多変数の多項式全体の集合 R[x₁,x₂,...,x_n] は環をなす。
A を環、 nを自然数とするとき、 A に係数を持つ n 次の正方行列全体の集合 M_nAは（一般には非可換な）環をなす。
G がアーベル群（可換群）であるとき、 G の自己準同型は環をなす。加法は値ごとの和（関数の場合と形式上同じもの）、乗法は準同型の合成によって入れる。
S を集合とするとき、 S のべき集合 P(S) は次のようにして環になる (A, B ⊂ S)：
- $A + B = ( A \cup B ) - ( A \cap B )$
- $A * B = A \cap B$