Morfismo
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In matematica per morfismo si intende in generale una astrazione di un processo che trasforma una struttura algebrica in un'altra mantenendo alcune caratteristiche "strutturali" della prima. Va notato che non si esclude che un morfismo trasformi una struttura in sé stessa (v.o. endomorfismo e automorfismo).
Gli esempi più tangibili e utili di morfismi sono quelli nei quali il processo si esprime con una funzione o applicazione che trasforma un insieme sostegno di una prima struttura nell'insieme sostegno di una seconda struttura o in una sua parte conservando determinate caratteristiche strutturali. Più in concreto consideriamo una struttura algebrica S caratterizzata da alcune operazioni finitarie (ad es. un campo numerico): una applicazione che trasforma S in una struttura della stessa specie e mantiene la forma delle espressioni si dice omomorfismo tra le due strutture. Morfismi molto concreti sono quelli che riguardano strutture discrete tangibilmente costruibili: fondamentali tra questi sono i morfismi tra grafi, applicazioni che mantengono le relazioni di adiacenza. Collegati a questi vi sono i morfismi tra poliedri, casi particolari di morfismi tra configurazioni geometriche, strumenti di base per lo studio delle proprietà geometriche più "sostanziali" (v. gruppo di simmetria). Generalizzando questi ultimi si incontrano i morfismi che sussistono tra due strutture topologiche: questi sono le funzioni continue.
La nozione di morfismo risulta quindi centrale nella matematica e in particolare per l'algebra astratta e per la geometria. Lo studio generale dei morfismi si colloca nella teoria delle categorie.
[modifica] Definizione di morfismo per i magmi
Consideriamo l'insiema A munito di una operazione binaria che denotiamo con "+" e l'insieme B munito dell'operazione binaria che scriviamo "*", si dice che la legge f:A--->B è un morfismo se risulta per ogni a,b di A:
f(a+b)=f(a)*f(b) .
cioè:se «l'immagine della composizione di due elementi di A è sempre uguale alla composizione delle immagini corrispondenti in B».
I morfismi, in base al collegamento che stabiliscono tra il loro dominio e il loro codominio, si dividono nei seguenti tipi:
Si chiama monomorfismo ogni morfismo iniettivo;
Si chiama epimorfismo ogni morfismo suriettivo;
Si chiama isomorfismo ogni morfismo biiettivo.
Se in particolare A e B coincidono:
Si chiama endomorfismo della struttura A, ogni morfismo di A in se stesso;
Si chiama automorfismo della struttura A, ogni isomorfismo di A in se stesso.
