Similitudine fra matrici
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici quadrate A e B sono simili quando esiste una matrice invertibile M tale che
Tutte le matrici in questione sono quadrate con lo stesso numero di righe. La similitudine fra matrici è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme M(n, K) di tutte le matrici quadrate n per n a valori in un campo K.
La relazione di similitudine fra matrici è importante, perché matrici simili rappresentano lo stesso "tipo" di applicazione lineare.
[modifica] Proprietà
- La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.
- Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Diciamo quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine. La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:
- Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Quindi hanno anche gli stessi autovalori.
- Sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a T rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.
- Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile.
- All'interno di ogni classe di similitudine esiste una matrice "più semplice", che è più vicina possibile ad una matrice diagonale: questa è la forma di Jordan (questo è valido sui campi reale e complesso).
[modifica] Esempi
- La matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a sé stesse.
- Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico possono non essere simili. Ad esempio:
