Risposta libera nello stato

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La risposta libera nello stato a partire dallo stato iniziale $x 0$ rappresenta l'evoluzione dello stato di un sistema nell'ipotesi che nell'intervallo di osservazione $[t 0, t [$ sia nullo l'ingresso u(t), cioè il vettore delle variabili su cui si agisce, a seconda delle caratteristiche di controllabilità del sistema, per modificare l'andamento o traiettoria dello stato (in funzione del tempo t). Nel caso dei sistemi dinamici lineari tempo invarianti, nell'ipotesi che la matrice A sia diagonalizzabile con autovalori reali si è dimostrato che la risposta libera nello stato risulta:

$x_{l}(t)=Pe^{\Lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})$

dove le colonne della matrice P sono gli autovettori $v 1, v 2,..., v n$ di A relativi agli autovalori distinti $λ 1,λ 2,...,λ n$ Posto $t 0 = 0$ si può scrivere:

$x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cccc} v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\ v_{12} & v_{22} & \cdots & v_{n2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ v_{1n} & v_{2n} & \cdots & v_{nn} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array} {cccc} e^{\lambda_1t} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_nt} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array} {c} \alpha_1(0) \\ \alpha_2(0) \\ \vdots \\ \alpha_n(0) \\ \end{array}\right)$

dove $α i (0)$ è il prodotto della riga i-esima della matrice $P - 1$ per lo stato iniziale x(0). Sviluppando i prodotti matriciali si ottiene : $x_l(t)=\sum_{i=1}^n\alpha_i(0)e^{\lambda_it}v_i$

La funzione $\alpha_i(0)e^{\lambda_i t}v_i$ viene detta modo aperiodico i-esimo . Un modo si dice eccitato se compare nella risposta libera nello stato. La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi. In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore $α i (0) v i$ allora si ha :

$P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \alpha_i(0)\\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{array}\right)$

e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato.Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore $v i$

Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei sistemi dinamici lineari tempo invarianti sempre nell'ipotesi che $t 0 = 0$ e che T sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:

$x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \cos \omega t \end{array}\right)T^{-1}x(0)$

Posto $x(0)=T\left(\begin{array} {c} M\sin\beta \\ M\cos\beta\\ \end{array}\right)$ si ha :

$x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \\ \end{array}\right) e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \cos \omega t\\ \end{array}\right)T^{-1}T\left(\begin{array} {c} M\sin\beta \\ M\cos\beta\\ \end{array}\right)$

$x_{l}(t)= e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} v_1\cos\omega t - v_2\sin\omega t & v_1\sin\omega t + v_2\cos\omega t \\ \end{array}\right)\left(\begin{array} {c} M\sin\beta \\ M\cos\beta\\ \end{array}\right)$

$\emph x_{l}(t)= Me^{\alpha t}\sin(\omega t+ \beta)v_1+Me^{\alpha t}\cos(\omega t+ \beta)v_2$

Tale termine viene detto modo pseudoperiodico di ampiezza $M e α t$ e fase $β$ . In tal caso quindi la traiettoria ha la forma di una spirale esponenziale sul piano individuato dagli autovettori $v 1, v 2$ . Questa traiettoria partendo da x(0) converge verso l'origine per $α < 0$ , diverge per $α > 0$ o degenera in curva chiusa per $α = 0$

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Categorie: Da wikificare ingegneria | Da wikificare - novembre 2006 | Sistemi dinamici

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