Repunit

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Nella matematica ricreativa, un repunit è un numero, come 11, 111 o 1111, che contiene solo la cifra 1. Il termine viene dall'inglese repeated unit, "unità ripetuta", ed è stato coniato nel 1966 da A.H. Beiler. Un primo repunit è un repunit che è anche un numero primo.

[modifica] Definizione

I repunit sono definiti matematicamente come:

$R_n={ 10^n-1 \over 9}\qquad\mbox{per }n\ge1.$

Pertanto il numero R_n è formato da n ripetizioni della cifra 1. La sequenza dei repunit con 1, 11, 111, 1111,... (sequenza A002275 dell'OEIS).

[modifica] Primi repunit

Storicamente, la definizione dei repunit è stata motivata dalla ricerca, all'interno della matematica ricreativa, dei fattori primi di tali numeri. Wikipedia contiene una lista di fattorizzazioni di repunit.

Si può mostrare facilmente che se n è divisibile per a, allora R_n è divisibile per R_a. Ad esempio, 9 è divisibile per 3, ed infatti R₉ è divisibile per R₃: 111111111 = 111 · 1001001. Di conseguenza, perché R_n sia primo n deve necessariamente essere primo. Ma questo non è sufficiente; ad esempio R₃ = 111 = 3 · 37 non è primo.

Da questo segue che i repunit primi sono rari. R_n è primo per n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (sequenza A004023 dell'OEIS). R₄₉₀₈₁ e R₈₆₄₅₃ sono primi probabili. È stato congetturato che esistano infiniti numeri primi.

[modifica] Generalizzazioni

I matematici professionisti solitamente considerano i repunit un concetto arbitrario, sostenendo che dipendono dall'uso del sistema numerico decimale. L'arbitrarietà può però essere risolta generalizzando l'idea ai repunit in base b :

$R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\mbox{per }n\ge1.$

In verità, i repunit in base 2 sono i rispettabili numeri di Mersenne M_n = 2ⁿ − 1. Il progetto Cunningham cerca di raccogliere le fattorializzazioni (fra l'altro) dei repunit in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

I primi repunit sono un sottoinsieme dei primi permutabili, cioè primi che rimangono tali dopo qualunque permutazione delle loro cifre.