Quadrica

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In matematica, e in particolare in geometria, per quadrica, o equivalentemente per superficie quadrica, si intende ogni (iper-)superficie di uno spazio D-dimensionale sui complessi rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono ${x 1, x 2,... x D}$ , allora la generale quadrica nello spazio C^D è definita da un'equazione della forma

$\sum_{i,j=1}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=1}^D P_i x_i + R = 0$

per una specifica scelta della matrice Q, del vettore P e della costante R.

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in forme diverse "normalizzate" sensibilmente più semplici delle generali. In particolare, per D=3, l'equazione normalizzata per una quadrica tri-dimensionale centrata nell'origine (0,0,0) è:

$\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \,=\, 1$

Nello spazio euclideo tridimensionale vi sono 16 forme normalizzate di questo genere; di queste le più interessanti sono le seguenti:

Ellissoide	Paraboloide Ellittico	Paraboloide Iperbolico	Iperboloide ad Una Falda
Iperboloide a Due Falde	Cono	Cilindro Ellittico	Cilindro Iperbolico
Cilindro Parabolico

ellissoide	$x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,$
sferoide (speciale caso di ellissoide)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,$
sfera (speciale caso di sferoide)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,$
paraboloide ellittico	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,$
circolare	$x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,$
paraboloide iperbolico	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,$
iperboloide ad una falda	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
iperboloide a due falde	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
cono	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,$
cilindro ellittico	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,$
cilindro circolare	$x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,$
cilindro iperbolico	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,$

Nello spazio proiettivo reale, l'ellissoide, il paraboloide ellittico e l'iperboloide a due falde sono equivalenti, a meno di una trasformazione proiettiva, ad ogni altra quadrica; i due paraboloidi iperbolici non sono differenti da ogni altra superficie del loro tipo (queste sono superfici rigate); il cono e il cilindro non sono differenti da ogni altra superficie del loro tipo (queste sono quadriche "degeneri", poiché la loro curvatura gaussiana è zero).

Nello spazio proiettivo complesso ciascuna delle quadriche non degeneri, a meno di tasformazioni proiettive, diventa indistinguibile da tutte le altre.

[modifica] Collegamenti esterni

http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione diCRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../q/u/a/Quadrica.html"

Categorie: Geometria analitica | Geometria proiettiva

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