Paraboloide

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria un paraboloide è una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:

$\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 \quad$ paraboloide ellittico

o della forma

$\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 + 2z = 0 \quad$ paraboloide iperbolico.

[modifica] Perché "ellittico" e "iperbolico"?

Il motivo di queste denominazioni è subito chiaro osservando le sezioni orizzontali delle due superfici:

Paraboloide ellittico:

Paraboloide iperbolico:

È evidente che nel primo caso la sezione è un'ellisse e nel secondo è un'iperbole. Algebricamente, intersecare una superficie con un piano orizzontale equivale a risolvere il sistema tra l'equazione che descrive la superficie e l'equazione z = z₀, dove z₀ è una costante. Se poniamo ad esempio

$z= - \frac{1}{2}$

otteniamo:

$\left( \frac{x}{a} \right) ^2 + \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1 \quad$

che non è altro che l'equazione dell'ellisse. Variando il valore di z, ovvero variando la posizione del piano orizzontale, si ottengono ellissi di dimensioni diverse.

Nel secondo caso (paraboloide iperbolico), la sezione retta è un'iperbole; infatti, ponendo anche in questo caso

$z= - \frac{1}{2}$

abbiamo

$\left( \frac{x}{a} \right) ^2 - \left( \frac{y}{b} \right) ^2 = 1 \quad$

che è proprio l'equazione di un'iperbole.

[modifica] Perché "paraboloide"

Paraboloide iperbolico

Il nome della superficie deriva dal fatto che le sue sezioni verticali sono appunto delle parabole.

Quando a = b un paraboloide ellittico viene detto paraboloide di rivoluzione, cioè una superficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse. Questa superficie è anche chiamata paraboloide circolare.

Hanno la forma del paraboloide di rotazione i riflettori parabolici usati come specchi, come antenne piatte e per analoghi dispositivi, come le antenne paraboliche. La ragione di ciò è dovuta al fatto che una sorgente di luce collocata nel punto focale di un paraboloide di rotazione produce un fascio di luce parallelo all'asse della superficie, e viceversa un fascio di luce parallelo che incide su un paraboloide di rotazione nella direzione del suo asse si concentra nel suo punto focale: questi effetti si hanno naturalmente anche per onde elettromagnetiche con frequenze in intervalli diversi dal visibile.

Poiché le sorgenti lumimose o elettromagnetiche sono così distanti da potere immaginare che i fasci d'onda siano paralleli, se ne deduce che la forma a paraboloide di rotazione permette di "catturare" una maggior quantità di informazione e farla convergere in un unico punto.