Geometria iperbolica

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La pagina di discussione contiene dei suggerimenti per migliorare la voce: Geometria iperbolica

La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma:

"Data una retta L e qualche punto A non su L, almeno due rette distinte esistono che passano per A e sono parallele a L." In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano L, anche se non hanno distanza costante da L.

La geometria iperbolica è stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia ha creduto essere inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobachevsky, con il nome di geometria astrale. (Vedi articolo sulla geometria non euclidea per maggiori informazioni storiche.)

Vi sono tre modelli comunemente usati per la geometria iperbolica. Il modello di Klein usa l'interno di una circonferenza come piano iperbolico, e le corde della circonferenza come rette. Questo modello ha il vantaggio della semplicità, ma lo svantaggio che gli angoli nel piano iperbolico sono distorti.

Il modello a disco di Poincaré impiega anch'esso l'interno di una circonferenza, ma le rette sono rappresentate da archi di circonferenze che sono ortogonali alla circonferenza limitata, e dai diametri della circonferenza. Il modello a semipiano di Poincaré utilizza una metà del piano euclideo, individuato da una retta euclidea B, per rappresentare il piano iperbolico (B stesso non è incluso). Le rette iperboliche sono allora rappresentate dalle semicirconferenze con centro su B e dalle rette perpendicolari a B.

Entrambi i modelli di Poincaré preservano gli angoli iperbolici, e sono per questo conformi. Tutte le isometrie in questi modelli sono inoltre trasformazioni di Möbius.

Un quarto modello è il modello di Minkowski, che impiega un iperboloide N-dimensionale di rotazione immerso in uno spazio euclideo N+1-dimensionale. Questo modello impiega una metrica per cui la distanza tra due punti qualsiasi sull' iperboloide è:

$d^2=x_1^2+x_2^2+...+x_N^2+x_{N+1}^2$

ossia la stessa metrica usata nella relatività speciale per descrivere lo spaziotempo.

La geometria iperbolica ha molte proprietà differenti dalla geometria euclidea, ognuna delle quali è conseguenza del postulato iperbolico.

[modifica] Costruzione geometrica

La costruzione della geometria iperbolica e l’assioma Lobačevskij nascono da alcune considerazioni geometriche sulla proposizione XXIII di Euclide che caratterizza le rette parallele:

PROPOSIZIONE XXIII: Parallele sono quelle linee rette giacenti nello stesso piano che, prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.

Illustriamo il ragionamento utilizzando la seguente figura:

La retta a passante per il punto P incontra la retta r nel punto K. Questa circostanza è garantita dal fatto che l’angolo α formato tra la retta s e la perpendicolare PH è sufficientemente piccolo.

All’aumentare dell’angolo α il punto di intersezione K si sposterà, lungo r sempre più verso destra rispetto al piede della perpendicolare. Tanto che, a partire da un certo valore dell’angolo α (quando ad esempio α è fortemente ottuso), la retta a cesserà di incontrare la retta r dalla parte destra di H, e il punto di intersezione K’ comparirà dalla parte sinistra di H.

Questo porta a supporre che certamente ci sarà un istante in cui la retta a cessa di incontrare la retta r sulla destra senza, tuttavia, incominciare ad incontrarla sulla sinistra.

Un caso simile si presenta, ad esempio, quando α è un angolo retto, come assicurava lo stesso Euclide (secondo il quale, però, α=π/2 fosse l’unico valore che verificava tale condizione).

Poiché non si può dimostrare l’esistenza di tale valore di α₀, ma solamente postularla, nulla vieta di supporre che la retta a cessi di incontrare la retta r dalla parte destra di H già quando α, pur restando acuto, raggiunge un certo valore α₀.

Lo stesso discorso si ripete in modo speculare per la parte a sinistra di H: anche in tal caso, infatti, esisterà un angolo α'₀, simmetrico rispetto il precedente.

Le rette del piano possono essere raggruppate in due insiemi:

rette comprese nell’angolo HPM che intersecano la retta r
rette che formano con la perpendicolare PH un angolo maggiore o uguale all’angolo α'₀= α₀ e che non intersecano la retta r.

In virtù della proposizione XXIII di Euclide che caratterizza le rette parallele, risulta che tutte le rette non secanti passanti per il punto P esterno alla retta r, sono ad essa parallele, pertanto si è costruito geometricamente una situazione in cui vale l’assioma di Lobačevskij:

ASSIOMA DI LOBAČEVSKIJ

Dati in un piano una retta ed un punto ad essa esterno, per tale punto passano almeno due rette che non incontrano la retta data.

Immediata conseguenza dell’assioma è che le rette che passano per P e non incontrano r sono infinite, infatti sono tutte le rette che appartengono all’angolo NPM’ .

Nell’insieme delle rette secanti si possono individuare due classi di rette secanti: quelle secanti la retta r sulla destra di H e quelli secanti la retta r sulla sinistra di H.

Le prime si chiameranno secanti a destra tutte le rette del piano, passanti per P e giacenti nell’angolo MPH , che incontrano la retta r in un punto a destra di H; si chiameranno secanti a sinistra tutte le rette del piano che giacciono nell’angolo MPH ed incontrano la retta r a sinistra del punto H.

Tutte le rette che appartengono alle parti di piano individuate dagli angoli M’PN’ e MPN non incontrano la retta r, in particolare si è individuata una coppia di rette s ed s’, associata ad un angolo (α'₀= α₀) a destra e a sinistra di PH, che rappresentano ciascuna l’elemento di separazione tra l’insieme delle rette secanti e l’insieme delle rette non secanti.

L’angolo associato alle rette s ed s’ è un angolo di riferimento e si chiamerà angolo di parallelismo.

Emerge immediatamente il problema riguardo l’esistenza di due elementi di separazione (uno a destra ed uno a sinistra) tra le classi delle rette secanti e le classi delle rette non secanti: se si considera un insieme continuo bisogna parlare di un solo elemento di separazione.

Questo problema si supera se si ipotizzano due versi di parallelismo e se si ragiona in termini di semirette di origine P e non di rette.

Così facendo la semiretta PM è l’elemento di separazione fra la classe delle semirette secanti e la classe delle semirette non secanti a destra; la semiretta PM' è l’elemento di separazione fra la classe delle semirette secanti e la classe delle semirette non secanti a sinistra. Entrambe sono caratterizzate dal fatto di formare con la verticale un angolo pari all’angolo di parallelismo α₀ . La retta s che contiene la semiretta PM sarà chiamata parallela a destra ad r, la retta s’ che contiene la semiretta PM’ sarà denominata parallela a sinistra; s , s’ e si diranno rette parallele alla retta r passanti per P.

Si diranno, invece, rette iperparallele (a destra e a sinistra) le infinite rette non secanti comprese nell’angolo MPN ,che formano cioè con la verticale PH un angolo superiore all’angolo di parallelismo.

Cosa cambia nell’assumere la nuova definizione di parallelismo? Analogamente alla definizione Euclidea, si assume come condizione necessaria al parallelismo la non incidenza tra le rette, ma a differenza della definizione precedente ora la condizione non è più sufficiente. Ciò comporta che molte proprietà che caratterizzano la vecchia nozione di parallelismo (simmetria, transitività, conservazione del parallelismo) non sono più così ovvie.

[modifica] Confronto tra la geometria iperbolica e la geometria euclidea

È importante precisare che nella geometria iperbolica è possibile costruire con riga e compasso il segmento avente come angolo di parallelismo un angolo dato e che in alcuni casi è possibile la quadratura del cerchio, contrariamente al caso della geometria euclidea dove non è mai possibile determinare con riga e compasso il lato di un quadrato avente la medesima area di un cerchio dato.

Se nel piano euclideo la diagonale ed il lato di un quadrato sono grandezze incommensurabili poiché il loro rapporto è costante e vale, nel piano iperbolico tale rapporto varia al variare delle dimensioni del quadrato dato.

Più il quadrato diventa piccolo, più tale rapporto tende a $\sqrt{2}$ come nel caso euclideo, mentre più diventa grande il quadrato, più il rapporto tende a 1. Di conseguenza, il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato varia tra 1 e $\sqrt{2}$ .

Dal momento che tra questi due valori esistono infiniti numeri razionali, allora esistono infiniti quadrati in cui il lato e la diagonale sono commensurabili.

Un altro risultato interessante è dato dalle formule della trigonometria della sfera che sono le stesse sia nello spazio iperbolico sia in quello euclideo poiché le proprietà della geometria della sfera derivano dalle proprietà degli angoloidi e dei triedri, le quali sono proprietà di geometria assoluta.

Il discorso vale anche nel piano, dove la trigonometria iperbolica piana non è altro che la trigonometria applicata su una sfera con raggio immaginario.

Sino a qui sono stati considerati gli argomenti più interessanti e peculiari della geometria iperbolica con lo scopo di far capire che tale geometria non è costruita semplicemente negando il postulato di Euclide sulla parallela, ma è una geometria vera e propria con sue proprietà e definizioni, che può essere considerata nuova rispetto a quella euclidea. Pertanto tutte le proprietà, scoperte da Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart, Taurinus, Lobačevskij, Bollai, all’inizio sorprendenti e paradossali, hanno poi, nel tempo, trovato una naturale collocazione ed una rigorosa e logica giustificazione.

Tutte queste scoperte sono state ricavate come logica conseguenza della negazione del postulato della parallela, condizione che ha fatto decadere tutte le proposizioni ad esso collegate, prima fra tutte quella relativa alla somma degli angoli interni di un triangolo e quella secondo cui il luogo dei punti equidistanti da una retta è ancora una retta.

E’ quindi importante sottolineare come, in matematica, può accadere che, modificando un solo assioma, possa derivare una nuova teoria completa, dove decadono alcune proprietà che sembrano fondamentali (quali ad esempio la similitudine ed il concetto dell’area) ma si possono scoprire nuovi enti geometrici (come le iperparallele, gli oricicli e le orisfere) aventi proprietà comunque interessanti.