Condizioni al contorno di Dirichlet

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In matematica, una condizione al contorno di Dirichlet è una particolare condizione al contorno imposta in una equazione differenziale, ordinaria o alle derivate parziali, che specifica i valori che la soluzione deve assumere sui bordi del dominio.

Indice

1 Equazioni differenziali ordinarie
2 Equazioni differenziali alle derivate parziali
3 Un esempio
4 Bibliografia

[modifica] Equazioni differenziali ordinarie

Nel caso delle equazioni differenziali ordinarie, come $\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1$ , le condizioni al contorno di Dirichlet, se il dominio è definito come $[0,1]$ , prendono la forma

y (0) = α 1

y (1) = α 2

con opportuni $\alpha_1, \alpha_2 \in \R$ .

[modifica] Equazioni differenziali alle derivate parziali

Nel caso di una equazione differenziale in un dominio $\Omega\subseteq \R ^n$ , come $Δ y + y = 0$ , in cui $Δ y$ denota il Laplaciano di y, la condizione prende la forma

$y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega$

ove $f$ è una funzione nota definita in ∂Ω.

Le condizioni al contorno di Dirichlet sono forse le più semplici da capire, ma esistono molte altre combinazioni possibili, come la condizioni al contorno di Neumann, che impongono dei valori per la derivata della soluzione, o la condizioni al contorno miste, che sono una combinazione delle due.

[modifica] Un esempio

Per la loro semplicità, le condizioni al bordo di Dirichlet sono tra le più comunemente studiate. Anche storicamente hanno avuto una certa importanza, fornendo dei modelli su cui costruire teorie più generali, come accaduto per la teoria spettrale degli operatori compatti (costruita a partire dall'esempio sotto).

Illustriamo con un esempio uno degli usi tipici delle condizioni al bordo di Dirichlet. Consideriamo lo spazio di Sobolev $H^1_0 \equiv H^1_0([0,1])$ , costituito (a meno dell'usuale equivalenza quasi ovunque degli spazi di Lebesgue) da tutte le funzioni misurabili $y$ sull'intervallo $[0,1]$ , che ammettono derivata debole a quadrato sommabile ( $\int_{[0,1]} y'(x)^2 dx < \infty$ ), e che si annullano al bordo ( $y (0) = y (1) = 0$ ). Su questo spazio è ben definito l'operatore $\mathrm{A} : H^1_0 \to H^1_0$ che associa ad una funzione $z \in H^1_0$ la soluzione dell'equazione:

$\frac{d^2}{d x^2}y = z$ ,

appunto con la condizione di Dirichlet $y (0) = y (1) = 0$ (si noti che la condizione di Dirichlet è necessaria affinché $y \in H^1_0$ , e dunque affinché $A$ sia ben definito). È ben noto che se $z$ ha derivata debole a quadrato sommabile, allora anche $y$ avrà tale proprietà, e dunque $A$ risulta ben definito su $H^1_0$ .

Un problema naturale, e particolarmente importante nello studio delle equazioni ellittiche -anche nonlineari, è quello di ricercare autovalori ed autovettori di $A$ . Dovremo quindi cercare soluzioni in $H^1_0$ , non banali (cioè diverse da $0$ ) del problema:

$\lambda \frac{d^2}{d x^2}y = y$ ,

Se $λ > 0$ , le soluzioni di questa equazione (senza tenere conto delle condizioni al bordo) sono rappresentate da sovrapposizione di esponenziali: $y(x)= \alpha e^{-\frac{x}{\sqrt{\lambda}}} + \beta e^{-\frac{x}{\sqrt{\lambda}}}$ , per delle costanti arbitrarie $α,β$ . Imponendo appunto la condizione al bordo di Dirichlet (ricordiamo che cerchiamo soluzioni in $H^1_0$ ), troviamo $α = β = 0$ , ossia solo soluzioni banali. Dunque, non ci sono autovalori positivi.

Se $λ = 0$ , l'equazione stessa implica $y \equiv 0$ , e dunque $0$ non è autovalore.

Il caso λ < 0 è quello realmente interessante, poiché vi sono degli autovalori (ed autovettori). Per comodità, dal momento che λ è negativo, scriviamo λ = − μ ^{− 2}. Le soluzioni del problema sono rappresentate da sovrapposizioni di seno e coseno: y(x) = αsin(μx) + βcos(μx)., per delle costanti arbitrarie α,β. Imponendo ancora la condizione al bordo di Dirichlet, troviamo che devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:
- $β = 0$ (poiché $sin(0) = 0$ ).
- $sin(μ) = 0$ (poiché $β = 0$ , dalla precedente condizione).

Dunque, necessariamente $μ = 2π k$ , per qualche numero intero $k$ . Ne segue che, per ogni numero naturale $n > 0$ , $\lambda_n= \frac{1}{4 \pi^2 n^2}$ è autovalore di $A$ , con autovettore (semplice) $y_n(x)= \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2 \pi n x)$ . (Si noti che il segno dell'intero $k$ non gioca alcun ruolo, in quanto $λ$ dipende dal quadrato di $k$ , mentre il seno è una funzione dispari, e gli autovettori sono definiti a meno di costanti).