Hatáselv

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A fizikában a hatáselv a mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test pályája meghatározható, illetve a kölcsönhatás és átalakulás egyenletei levezethetők. A befutott pálya olyan, amelynek mentén számított hatás stacionárius, azaz a pálya kis odébbtolására nem változik. Így a pályát nem az erőhatásokra bekövetkező gyorsulások alapján próbáljuk felépíteni, hanem a stacionárius hatás alapján próbáljuk kiválasztani a lehetséges pályák közül.

Az elvet a stacionárius hatás elvének vagy Hamilton-elvnek is hívjuk. Szintén használatban van a kevésbé általános és történetesen helytelen legkisebb hatás elve elnevezés is.

A hatás egy skalár mennyiség (egy szám), energia × idő mértékegység dimenzióval. Az elv egyszerű, általánso és hatásos elmélet a klasszikus mechanika mozgásainak leírására. A hatáselv kiterjesztése leírja az elektrodinamikát, relativitáselméletet és kvantumelméletet.

Tartalomjegyzék

1 A hatáselv néhány alkalmazása
2 Történeti összefogalaló
3 A hatáselv a klasszikus mechanikában
- 3.1 Euler-Lagrange-egyenletek
- 3.2 Példa: Szabad részecske polárkoordinátákban
4 Külső hivatkozások

[szerkesztés] A hatáselv néhány alkalmazása

Bár a klasszikus mechanikában egyenértékű a Newton-törvényekkel, a hatáselv alkalmasabb az általánosításra és fontos szerepet játszik a modern fizikában. Az elv valóban a fizika egyik nagyszerű általánosítása. Különösen a kvantummechanikában lehet értékelni és legjobban megérteni. A kvantummechanika Richard Feynman által felépített útintegrál megfogalmazása a stacionárius hatás elvén alapul. A Maxwell-egyenletek is származtathatók az elvből.

A fizika sok problémája állítható fel és oldható meg a hatáselv formájában, mint pl. megtalálni a legrövidebb utat a parthoz, hogy elérjünk egy fuldoklót. A dombról lefutó víz a legnagyobb lejtőt keresi, a leggyorsabb utat, egy medencébe folyó víz úgy terül szét, hogy a felszíne a lehető legalacsonyabban legyen. A fény a leggyorsabb utat követi egy optikai rendszeren keresztül (Fermat-elv vagy legrövidebb idő elve). Egy test pályája gravitációs mezőben (azaz szabadesés a téridőben, egy ún. geodézikus vonal) a hatáselv segítségével határozható meg.

A szimmetriák is jobban kezelhetők a hatáselvvel és az Euler-Lagrange-egyenletekkel, amiket szintén a hatáselvből származtatunk. Egy példa erre a Noether-tétel, amelyik kimondja, hogy minden folytonos szimmetria megfelel egy megmaradási törvénynek és megfordítva. Ez a mély kapcsolat megköveteli, hogy a hatáselvet feltételezzük.

A klasszikus mechanikában (nemrelativisztikus, nemkvantumos) a hatás korrekt alakja bizonyítható Newton mozgástörvényeiből. Megfordítva, a korrekt hatásból kiindulva a hatáselv szolgáltatja a Newton-egyenleteket. A hatáselv alkalmazása sokszor egyszerűbb, mint a Newton-törvényeké. A hatáselv egy skalár elmélet, aminek alkalmazásai elemi számításokat igényelnek.

[szerkesztés] Történeti összefogalaló

A legkisebb hatás elvét először Maupertuis fogalmazta meg [1] 1746-ban, majd 1748-tól kezdődően Euler, Lagrange, és Hamilton fejlesztették tovább. Maupertuis abból az érzésből vezette le az elvet, hogy az Univerzum tökéletessége megkíván egyfajta gazdaságosságot és nem fér össze semmilyen energiapazarlással. A természetes mozgás olyan kell legyen, ami valamilyen mennyiséget minimalizál. Már csak azt kell kitalálni, melyiket. Ő ezt a vis viva-ban, vagy élőerőben találta meg, amit ma mozgási energiának hívunk.

Euler munkájában ("Reflexions sur quelques loix generales de la nature", 1748) elfogadta a elgkisebb hatás elvét, a mennyiséget "erőfeszítésnek" híva. Az ő kifejezése megfelel a helyzeti energiának, azaz a hatáselv a statikában megfelel annak az elvnek, hogy a testek olyan helyzetet vesznek fel, ami minimalizálja a teljes helyzeti energiát.

[szerkesztés] A hatáselv a klasszikus mechanikában

Newton mozgásegyenletét számos módon felállíthatjuk. Az egyik közülük a Lagrange-formalizmus vagy Lagrange-mechanika. Ha egy részecske pályáját a $t$ idő függvényében $x (t)$ -vel, sebességét $\dot{x}(t)$ -vel jelöljük, akkor a Lagrange-függvény valószínűleg ezek függvénye, beleeértve az explicit időfüggést is:

$L[x(t),\dot{x}(t),t]$

Az S hatásintegrál a Lagrange-függvény időintegrálja t₁ időbeli x(t₁) pont és a t₂ időbeli x(t₂) között:

$S=\int_{t_1}^{t_2} L[x(t),\dot{x}(t),t]\, dt.$

A Lagrange-mechanikában egy részecske pályáját úgy találhatjuk meg, hogy az erre vett S hatásintegrál stacionárius (minimum vagy nyeregpont). A hatásintegrál egy funkcionál (egy függvénytől - esetünkben x(t)-től - függő függvény). Ha a rendszerben konzervatív erők (potenciállal kifejezhető erők - ilyen pl. a gravitációs és nem ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor a mozgási energia és a helyzeti energia különbségeként megválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet. Megjegyezzük, hogy a mozgási és helyzeti energia összege a rendszer teljes energiája.

[szerkesztés] Euler-Lagrange-egyenletek

Egy pályamenti integrál stacionárius pontja ekvivalens differenciálegyenletek egy együttesével, amiket Euler-Lagrange-egyenleteknek hívunk. A következőkben láthatjuk ezt, ahol egy koordinátára szorítkozunk az egyszerűség kedvéért. A több koordinátára való kiterjesztés egyértelmű.

Tegyük fel, hogy van egy S hatásintegrálunk L-en ami az időfüggő koordinátától és időfüggő időderiváltjától függ (x(t) és dx(t)/dt):

$S = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x})\,dt.$

Tekintsünk egy másik x₁(t) görbét (pályát), ami ugyanabban a pontban kezdődik és végződik, mint az első görbe, és tegyük fel, hogy a két görbe közötti távolság mindenhol kicsi: ε(t) = x₁(t) - x(t) kicsi. A kezdő- és végpontban ε(t₁) = ε(t₂) = 0.

Az első és második görbe mentén vett integrálok különbsége (amit S variációjának hívunk):

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; \left[ L(x+\varepsilon,\dot x+\dot\varepsilon)- L(x,\dot x) \right]dt = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \varepsilon{\partial L\over\partial x} + \dot\varepsilon{\partial L\over\partial \dot x} \right)\,dt$

ahol L-et ε és ε′ szerint első rendben fejtettük ki. Hajtsunk végre parciális integrálást a második tagon és használjuk ki a ε(t₁) = ε(t₂) = 0 feltételeket:

$\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \varepsilon{\partial L\over \partial x} - \varepsilon{d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x} \right)\,dt.$

S minden pontban stacionárius, azaz δ S = 0 minden ε-ra. Megjegyezzük, hogy lehet szó minimumról, nyeregpontról vagy formálisan maximumról is.

δ S = 0 minden ε-ra, akkor és csak akkor, ha:

${\partial L\over\partial x_{a}} - {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{x}_{a}} = 0$ Euler-Lagrange egyenletek

Ahol x-et x_a-val heleyettesítettük (a = 0,1,2,3), mivel a kapott eredménynek minden koordináta esetén igaznak kell lennie. Ezeket az egyenleteket a variációs probléma Euler-Lagrange-egyenleteinek hívjuk. Az egyenleteknek egy fontos egyszerű következménye, hogy ha L nem függ explicit módon x-től (azaz x ún. ciklikus koordináta), azaz:

ha $\frac{\partial L}{\partial x}=0$ , akkor $\frac{\partial L}{\partial\dot x}$ állandó.

$\frac{\partial L}{\partial\dot x}$ -nak konjugált impulzus a neve és ebben az esetben ez megmaradó mennyiség. Ha gömbi polárkoordinátákat használunk (t, r, φ, θ) és L nem függ φ-től, akkor a konjugált impulzus a megmaradó impulzusmomentum. Hasonló módon levezethető, hogy explicit időfüggés hiányában az energia megmaradó mennyiség, de ezt nem nevezhetjük az idő konjugált impulzusának.

A funkcionálanalízis formalizmusában az Euler-Lagrange-egyenletek egyszerűen így fejezhetők ki:

$\frac{\delta S}{\delta x_{i}(t)}=0$ .

[szerkesztés] Példa: Szabad részecske polárkoordinátákban

Triviális példák megtanítanak értékelni a hatáselvet és az Euler-Lagrange-egyenleteket. Egy szabad részecske (m tömeggel) az Euklidészi-térben egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (v sebességgel). Polárkoordinátákban ez a következő módon mutatható meg. Potenciál hiányában a Lagrange függvény egyszerűen a mozgási energia:

$\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$

ortonormált (x,y) koordinátákban, ahol a pont a görbeparaméter (általában a t idő) szerinti deriválást jelöl. Polárkoordinátákban (r, φ) a mozgási energia és így a Lagrange-függvény:

$L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\varphi^2 \right).$

Az r sugár és a φ polárszög Euler-Lagrange-egyenletei:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 = 0$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) -\frac{\partial L}{\partial \varphi} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} = 0.$