Cournot-duopólium

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Cournot-duopólium egyike a mikroökonómiai piacelméletben használatos duopólium-modelleknek. A modellt megalkotójáról, Antoine Augustin Cournot francia matematikus-közgazdászról nevezték el.

A Cournot-duopólium jellemzői:

A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két eladó (a továbbiakban: vállalat) van jelen, akik között nincs együttműködés.
A két vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.
A megtermelt jószágegységek homogének, azaz minőségükben nem különböznek egymástól.
A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
A vállalatok csak a jószág általuk kibocsátott mennyiségéről döntenek, a jószág – egyetlen – árát piaci folyamatok alakítják ki.
A vállalatok kínálati döntésüket szimultán módon, vagyis stratégiai szempontból egyszerre hozzák. Ez azt jelenti, hogy egyik vállalat sem ismeri, amikor meghozza a döntését, hogy a másik hogyan döntött (még akkor sem, ha az időben korábban történt).

Tartalomjegyzék

1 A reakciófüggvény
2 Az egyensúly
- 2.1 Az egyensúly kialakulása
3 Egy példa
4 A Cournot-duopólium játékelméleti modellje

[szerkesztés] A reakciófüggvény

Jelölje $D(p)\,$ a két vállalat által előállított jószág piaci keresleti függvényét, ahol p a jószág ára. Az egyszerűség kedvéért nevezzük a két eladót 1., illetve 2. vállalatnak. Ekkor legyen y₁ az 1., y₂ pedig a 2. vállalat kibocsátása, továbbá $C_1(y_1)\,$ az 1., $C_2(y_2)\,$ pedig a 2. vállalat összköltségfüggvénye.

A további összefüggéseket csak az 1. vállalatra vezetjük le; mivel a két vállalat közül egyik sincs „kitüntetett” szerepben, ezért természetesen ugyanezek vonatkoznak a 2. vállalatra is, csak más jelölésekkel. Az 1. vállalat profitja – $\pi _1\,$ – az árbevétel (a jószág ára szorozva a vállalat által kibocsátott mennyiségével) és az összköltség különbsége:

$\pi _1 = p \cdot y_1 - C_1(y_1)$

Mivel az 1. vállalat célja profitjának maximalizálása, ezért azt az y₁ kibocsátási szintet kell megkeresnünk, ahol a profitfüggvény értéke maximális. Viszont ha a – minden pontjában differenciálhatónak feltételezett – profitfüggvény eléri maximumát, akkor y₁ szerinti deriváltja 0 lesz. Tehát a profitmaximalizáló kibocsátásra fennáll a következő egyenlőség (deriváljuk a fenti összefüggést y₁ szerint, majd egyenlővé tesszük 0-val):

$\frac{\partial \pi _1}{\partial y_1} = \frac{\partial p}{\partial y_1} \cdot y_1 + p - MC_1(y_1) = 0$

MC₁ jelöli a jószág előállításának határköltségét, az összköltség y₁ szerinti deriváltját.

Az egyenletben két ismeretlen is szerepel: y₁ és p. Tudjuk azonban, hogy p a keresleti függvény, $D(p)\,$ magyarázó változója; a piaci folyamatok pedig a keresletet egyenlővé teszik a kínálattal. A kínálat nem más, mint a két vállalat összes kibocsátása, vagyis $y_1 + y_2\,$ . Az előbb megfogalmazott összefüggést a matematika nyelvén felírva:

$D(p) = y_1 + y_2\,$

Ha pedig a keresleti függvény inverzére írjuk fel az egyenlőséget:

$p = P(y_1 + y_2)\,$

P az inverz keresleti függvény. Mivel értéke az árral, p-vel egyenlő, a deriválással kapott fenti összefüggésbe is behelyettesíthetjük p helyére:

$\frac{\partial P(y_1 + y_2)}{\partial y_1} \cdot y_1 + P(y_1 + y_2) - MC_1(y_1) = 0$

Sajnos azt tapasztaljuk, hogy az eltűnt p helyét egy másik ismeretlen váltotta fel: y₂, vagyis a 2. vállalat kibocsátása, amit a modell definíciója szerint az 1. vállalat nem ismerhet kínálati döntésének meghozatalakor. Viszont megpróbálhatja megbecsülni y₂-t különböző más információk alapján (ezekre később még visszatérünk). A 2. vállalat 1. vállalat által becsült kibocsátását y₂^e-vel jelölhetjük.

Összefüggésünk most ilyen alakot ölt:

$\frac{\partial P(y_1 + y_2^e)}{\partial y_1} \cdot y_1 + P(y_1 + y_2^e) - MC_1(y_1) = 0$

Ez az egyenlőség pedig implicit módon meghatározza az $y_1 (y_2^e)$ függvényt, amit az 1. vállalat reakciófüggvényének nevezünk. A reakciófüggvény a 2. vállalat minden egyes becsült kibocsátási szintjéhez az 1. vállalat profitmaximalizáló kibocsátását rendeli.

Természetesen, ahogy már említettük is, a 2. vállalat reakciófüggvénye ugyanilyen módszerrel határozható meg. Ekkor az 1. vállalat kibocsátása a becsült érték, tehát a reakciófüggvény $y_2 (y_1^e)$ alakú lesz.

A reakciófüggvények és a Cournot-egyensúly.
(Megjegyzés: A reakciófüggvények csak akkor biztosan lineárisak és negatív meredekségűek, ha a keresleti függvény is negatív meredekségű és lineáris.)

[szerkesztés] Az egyensúly

Cournot-egyensúlyban mindkét vállalatnak a másik kibocsátására vonatkozó becslése a másik vállalat tényleges kibocsátásával egyenlő. Tehát:

$y_1 = y_1 (y_2)\,$
$y_2 = y_2 (y_1)\,$

Ha a két reakciófüggvényt közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor a Cournot-egyensúlyi pont a két függvény metszéspontja lesz.

[szerkesztés] Az egyensúly kialakulása

Ha mindkét vállalat csak egyszer hozhatná meg kínálati döntését, ahogy az eredetileg a modellben szerepel, akkor nem valószínű, hogy becsléskor éppen eltalálnák a másik vállalat választott kibocsátási szintjét. Ha viszont egymást követően többször is döntést hoznak (ami nyilvánvalóan közelebb áll a valósághoz is), és a másik vállalat előző időszaki kibocsátása már megfigyelhető a számukra, akkor megtehetik, hogy korrigálják a korábbi becsléseiket. Ezek a korrekciók a Cournot-duopóliumot az egyensúly irányába mozdítják el.

Tegyük fel például, hogy a vállalatoknak havonta kell meghozniuk kínálati döntésüket, vetélytársuk előző havi kínálati döntését pedig meg tudják figyelni. Ekkor, ha nincs más információjuk, célszerű azt feltételezniük, hogy a másik vállalat jelen hónapban is ugyanazon kibocsátási szintet választja, mint annakelőtte. Eszerint a vállalatok a t-edik időszakban így határozzák meg a kibocsátásukat:

$y_1^t = y_1(y_2^{t-1})$
$y_2^t = y_2(y_1^{t-1})$

A t+1-edik időszakban pedig így:

$y_1^{t+1} = y_1(y_2^t) = y_1(y_2(y_1^{t-1}))$
$y_2^{t+1} = y_2(y_1^t) = y_2(y_1(y_2^{t-1}))$

És így tovább. Belátható, hogy a reakciófüggvény-értékek t növekedésével a Cournot-egyensúlyi értékhez tartanak.

[szerkesztés] Egy példa

Egy faluban két „vállalat” foglalkozik perecsütéssel. Az általuk készített perecek teljesen egyformák; a két vállalat által alkotott duopólium más jellemzőiben is megfelel a Cournot-modell feltételeinek. Mindkét vállalat hetente dönt az általa kínált mennyiségről. A perec keresleti függvénye:

$D(p) = 120 - \frac{p}{2}$

Az 1. vállalat modern technológiával dolgozik, határköltség-függvénye $MC_1 (y_1) = y_1\,$ , ahol y₁ a vállalat heti kibocsátása. A 2. vállalat elavultabb technológiát alkalmaz, határköltség-függvénye $MC_2 (y_2) = 4y_2\,$ (y₂ a 2. vállalat heti kibocsátása).

Kérdések: Mennyi lesz az egyes vállalatok Cournot-egyensúlyi kibocsátása, valamint a piaci ár? Mennyi volna az összkibocsátás és az ár abban az esetben, ha a perecnek versenyzői piaca lenne?

[szerkesztés] A reakciófüggvények

Először a reakciófüggvényeket kell meghatároznunk. Az 1. vállalat reakciófüggvényét implicit módon megadó, feljebb már felírt egyenlet így néz ki:

$\frac{\partial P(y_1 + y_2^e)}{\partial y_1} \cdot y_1 + P(y_1 + y_2^e) - MC_1(y_1) = 0$

Az inverz keresleti függvényt, P(y)-t így kaphatjuk meg:

$\begin{matrix} D(p) = 120 - \frac{p}{2} \\ \frac{p}{2} = 120 - D(p) \\ p = 240 - 2D(p) = 240 - 2y = P(y) \end{matrix}$

A függvény y₁ szerinti deriváltja -2. Helyettesítsünk be az egyenletbe mindent, amit tudunk, majd rendezzük y₁-re:

$\begin{matrix} -2y_1 + 240 - 2 \cdot (y_1 + y_2^e) - y_1 = 0 \\ 240 - 2y_2^e = 5y_1 \\ 48 - \frac{2}{5} \cdot y_2^e = y_1 \end{matrix}$

Az 1. vállalat reakciófüggvénye tehát:

$y_1 (y_2^e) = 48 - \frac{2}{5} \cdot y_2^e$

A 2. vállalat reakciófüggvénye hasonlóan vezethető le. A végeredmény:

$y_2 (y_1^e) = 30 - \frac{1}{4} \cdot y_1^e$

[szerkesztés] Az egyensúly

A Cournot-egyensúly a reakciófüggvények metszéspontjának felel meg, vagyis meg kell oldanunk az

$y_1 = 48 - \frac{2}{5} \cdot y_2$
$y_2 = 30 - \frac{1}{4} \cdot y_1$

kétismeretlenes egyenletrendszert. A gyökök:

$y_1 = 40\,$
$y_2 = 20\,$

Látható, hogy a modernebb technológia az 1. vállalat számára nagyobb piaci részesedést biztosított. Az is megállapítható, hogy összesen 40 + 20 = 60 perecet fognak eladni egy hét alatt. A piaci árat az összkibocsátásnak az inverz keresleti függvénybe való helyettesítésével kaphatjuk meg:

$p = P(60) = 240 - 2 \cdot 60 = 120$

[szerkesztés] A versenyzői piaccal való összehasonlítás

Ha a perec piaca versenyzői piac volna, akkor az egyensúlyi ár-kibocsátás kombináció a keresleti és a kínálati függvény – utóbbi ebben az esetben a határköltséggörbe – metszéspontjában lenne. Persze kérdés, hogy itt melyik (az 1. vagy a 2.) vállalat határköltség-függvényét használjuk fel. A legjobb válasz erre az, hogy a versenyzői piacon minden technológiával kapcsolatos információ nyilvános, így hosszú távon minden vállalat a legkedvezőbb technológiára áll át. Így az 1. vállalat határköltség-függvényét kell figyelembe vennünk.

Tehát az inverz keresleti függvény értéke egyenlő a határköltséggel:

$\begin{matrix} P(y) = MC(y) \\ 240 - 2y = y \\ y = 80 \end{matrix}\,$

Az ár meghatározása:

$P(y) = P(80) = 240 - 2 \cdot 80 = 80\,$

Hasonlítsuk össze az összkibocsátást és az árat Cournot-duopólium, illetve versenyzői piac esetén:

	Cournot-duopólium	Versenyzői piac
Összkibocsátás	60	80
Ár	120	80

Látható, hogy a Cournot-modellben a kibocsátás a versenyzői piac kibocsátása alatt marad, az ár viszont meghaladja a versenyzői árat. A Cournot-duopólium a tökéletes versenyhez képest a javak kevésbé hatékony elosztását tudja csak biztosítani.

A hatékonyságveszteség számszerűen is kifejezhető, ha meghatározzuk az úgynevezett holtteherveszteséget, a vásárlók kieső fogyasztói többletének és a vállalatok kieső termelői többletének összegét. A holtteherveszteség képlete, ha a keresleti és a határköltségfüggvény is lineáris:

$HTV = \frac{\Delta p \cdot \Delta y}{2}$

$\Delta p\,$ a Cournot-duopólium és a versenyzői piac árának különbségét, $\Delta y\,$ pedig a két kibocsátás különbségét jelöli. Jelen esetben:

$HTV = \frac{(120-80) \cdot (80-60)}{2} = \frac{40 \cdot 20}{2} = 400$

Az tehát, hogy a perec piaca Cournot-duopóliumként működik, a falu és a vállalatok számára heti (!) 400 forint veszteséggel jár.

A Cournot-játék extenzív alakja (a számok a fenti példából származnak)

[szerkesztés] A Cournot-duopólium játékelméleti modellje

A játékelmélet a Cournot-duopóliumot aszimmetrikus információs játékként modellezi. A „Cournot-játék” elemei:

két játékos (a két vállalat);
mindkét játékos számára a választható akciók a kibocsátásának lehetséges értékei;
a másodikként lépő játékos nem ismeri az első játékos lépését (információs halmaza nem egyelemű);
a játék végén a kifizetések a játékosok profitjai;
a játékosok célja, hogy kifizetésük maximális legyen.

A Cournot-egyensúly nem más, mint a Cournot-játék tiszta stratégiákon alapuló Nash-egyensúlya.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../c/o/u/Cournot-duop%C3%B3lium.html"

Kategória: Mikroökonómia