Üres halmaz

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék

1 Definíció és jelölés
2 Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások
3 Tulajdonságok
4 Hivatkozások

[szerkesztés] Definíció és jelölés

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük. Jelölése:

$\emptyset$ , vagy $\{\}\,$

(az előbbi a nulla elemszámra utal, az utóbbi pedig arra, hogy felsoroláskor kapcsos zárójelek közé tesszük a halmaz elemeit).

[szerkesztés] Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások

Az üres halmaz létezése egy formális-axiomatikus halmazelméletben a részhalmazaxióma következménye. Ha A tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈ A | x ≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a végtelenségi axióma rögzíti. (Valójában egy formális halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi A halmaz szerepét a halmazelmlet akármelyik termje játszhatja. Az informális, természetes nyelven kifejtett halmazelméletekben általában „kívánkozik” egy létezési axióma megkövetelése.)

Az üres halmaz egyértelműen van meghatározva a következő értelemben. A

$(\exists!\,x)(\forall\,y)(y\in x \Leftrightarrow y\in \emptyset )$

formula tétel, egyrészt az előzőek miatt igaz az egzisztencia, másrészt a meghatározottsági axióma miatt ha van $x 1$ és $x 2$ , melyre a fenti egzisztenciatulajdonság igaz, akkor ezek egyenlők.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Tetszőleges $A$ halmazra érvényesek a következő állítások:

$\emptyset \subseteq A$
$\emptyset \cup A = A$
$\emptyset \cap A = \emptyset$
$\emptyset \times A = \emptyset$

Az üres halmaz egy érdekes tulajdonsága, hogy tetszőleges $T$ tulajdonságra teljesül a

$(\forall \,x\in\emptyset)\,T$

kijelentés, ellenkező esetben ugyanis létezne nem T tulajdonségú eleme az üres halmaznak, ami azért ellentmondás, mert az üres halmaznak egyáltalán nincs eleme. Például az üres halmaz függvény, rendezett halmaz, sőt szigorúan monoton függvény és félcsoport (alamhalmaza) is, de például nem lehet csoport (alaphalmaza), hiszen ott megkövetelnek legalább egy elem létezését.

A halmazok számosságának a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága $0$ . Ugyanis tetszőleges véges H halmaz számossága az n ∈ N természetes szám, ha létezik bijekció H-ból n-be (ahol n a sztenderd halmazelméleti definíció természtes szám objektuma, melyre teljesül az n = {0,1,...,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik $\emptyset$ $\rightarrow$ $0\,$ = $\emptyset$ bijekció, hisz az üres függvény ilyen.

[szerkesztés] Hivatkozások

Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Hajnal, András & Hamburger, Péter Halmazelmélet, 3. kiadás, 1994, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp, (ISBN 9631859983)

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../%C3%BC/r/e/%C3%9Cres_halmaz.html"

Kategória: Halmazelmélet