Constante de Brun

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

En 1919, le mathématicien Viggo Brun démontra que la série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente ; la somme de cette série est maintenant appelée constante de Brun des nombres premiers jumeaux, ou plus simplement constante de Brun, et est habituellement désignée par B₂ :

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

par opposition au fait que la série des inverses de tous les nombres premiers est divergente. Si cette série eût été divergente, nous aurions eu une démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Mais puisque celle-ci est convergente, nous ne savons toujours pas s'il y a une infinité de nombres premiers jumeaux. Son crible fut redéfini par J.B. Rosser, G. Ricci et d'autres.

En calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10¹⁴ (et découvrant au passage le bogue de la division du Pentium), Thomas Nicely a estimé par une méthode heuristique la constante de Brun. Plus récemment, il a amélioré cette approximation à

B₂ = 1,90216 05823 ± 0,00000 00008,

en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×10¹⁵.

Le 21 mars 2006 la constante fut portée à la valeur

B₂ = 1.90216 05825 09 ± 0.00000 00014 35

Il existe aussi une constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers. Un quadruplet de premiers est un couple constitué de jumeaux premiers, séparés d'une distance de 4 (la plus courte distance possible) soit $(p, p + 2, p + 6, p + 8)$ . Les premiers quadruplets de premiers sont (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun pour les quadruplets de premiers, notée B₄, est la somme des inverses de tous les nombres premiers des quadruplets:

$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$