Brunsche Konstante

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1919 zeigte der Mathematiker Viggo Brun (1882-1978), dass die Summe der Kehrwerte von Primzahlzwillingen (Paare von Primzahlen, die sich um die Differenz von 2 unterscheiden) gegen eine Konstante konvergiert. Diese wird Brunsche Konstante für Primzahlzwillinge genannt und meist als $B 2$ bezeichnet:

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

Dieser Fakt ist auf den ersten Blick überraschend, da die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert (dies wurde bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler bewiesen). Wäre auch $B 2$ divergent, hätte man einen Beweis für die – bis heute offene – Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Aus der Konvergenz lässt sich jedoch nicht auf das Gegenteil schließen.

Die bislang genaueste Schätzung

$B_2\approx 1,902160583104$

stammt von Pascal Sebah aus dem Jahr 2002, der hierfür alle Primzahlzwillinge bis 10¹⁶ betrachtete. Die Berechnung von $B 2$ ist allerdings außerordentlich schwierig, da die Reihe zum einen sehr langsam konvergiert, als auch das Finden großer Primzahlen äußerst kompliziert ist (siehe dazu der Artikel über Primzahltests).

1994 entdeckte Thomas R. Nicely bei einer Abschätzung von $B 2$ über alle Primzahlzwillinge bis 10¹⁴ den sogenannten Pentium-FDIV-Bug.

Neben $B 2$ gibt es noch die Brunsche Konstante für Primzahlvierlinge, gewöhnlich als $B 4$ bezeichnet. Primzahlvierlinge sind Paare von Primzahlzwillingen, die einen Abstand von 4 haben (dies ist der kleinst mögliche Abstand zweier Primzahlzwillinge zueinander). Die ersten drei Quadrupel von Primzahlvierlingen sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) und (101, 103, 107, 109).

$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$

Da alle Summanden von $B 4$ auch in $B 2$ vorkommen – bis auf die Summanden aus dem ersten Vierling sind keine Werte doppelt vorhanden – gilt $0 < B 4 < B 2$ , und somit konvergiert auch diese Reihe. Sie hat den Wert

$B_4 = 0{,}87058\; 83800 \pm 0{,}00000\; 00005$