مکانیک لاگرانژی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در 1788 م) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست.( اصل کمترین کنش ) بنا به تعریف، لاگرانژی تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است (L = T-V)، و تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژی کمینه شود. مثلاً در ساده‌ترین حالت عمل مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر است.

$S = \int_{0}^{T}{({{1}\over{2}}m\dot{x}^2 - V(x))dt}$

در اینجا x خود تابعی از زمان است. $x = x (t)$ . کمینه‌کردن کمیت S منجر به معادلاتی می‌شود که اصطلاحاً به آن معادلات اویلر-لاگرانژ می‌گویند:

${\partial L\over{\partial x}}-{d\over{dt}}{\partial L\over{\partial \dot x}} = 0$

که می‌شود:

$m \ddot x = - {\partial V\over\partial x} = F$

که همان قانون دوم نیوتن است. همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذرید. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دست‌رسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دست‌رسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.