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欧拉公式 - Wikipedia

欧拉公式

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欧拉公式是歐拉發現的公式，可以用以称呼以下數条著名的公式：

V-E+F=2，简单多面体的顶点数，棱数，面数。（參見歐拉特徵數）
$e^{i \pi} + 1 = 0\;$ ，是以下公式的一個特殊情況，參見歐拉恆等式

欧拉公式說明對任何實數x：

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

歐拉公式可以利用泰勒級數或微積分的辦法來證明：

函數e^x, cos(x)和sin(x)可以寫成：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

將以上的x換成iz可得：

$e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots$ $= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots$

$= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)$

$= \cos (z) + i\sin (z) \,$

利用微積分證明：

定義一複數如下：

$z=\cos x + i\sin x \,$

兩邊對x求導：

$\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x$

由 $i 2 = - 1$ 得到：

$\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=zi$

分離變量並對兩邊積分得：

$\int\frac{1}{z}\,dz=\int i\,dx$

$\ln z=xi + C\,$

令x=0可證C=0.

從而有：

$\ ln z = xi\,$

$\ z = e^{xi}\,$

$\ e^{xi} = \cos x + i\sin x\,\square$

来自“http://zh.wikipedia.org../../../%E6%AC%A7/%E6%8B%89/%E5%85%AC/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F.html”

页面分类: 数学分析

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