最小上界公理
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最小上界公理也简写为 LUB 公理是实分析的公理。在不能在实分析系统内证明的意义上它是一个公理。但是,像其他经典数学领域的公理一样,它可以从作为外部系统的 Zermelo-Fraenkel 集合论证明。这个公理声称如果实数的非空子集有上界,则它有最小上界。这个公理非常有用,因为它是证明实数轴是完备度量空间的根本。有理数轴不满足 LUB 公理而因此不是完备的。一个理想的例子是 。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何 ,我们可以找到 有着 。
[编辑] 实数轴是完备的的证明
设 是柯西序列。设 S 是只对有限多个 大于 sn 的实数集合。设 。设 使得 。所以,这个序列经过区间 无限多次并经过它的补最多有限多次。这意味着 并因此 。明显的 是 S 的上界。通过 LUB 公理,设 b 是最小上界。。通过三角不等式,。所以 并因此 是完备的。Q.E.D.