伪黎曼流形

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伪黎曼流形是平滑流形擁有平滑對稱 $(0,2)$ 張量。它在流形每點都非退化。這個張量稱為伪黎曼度量或伪度量張量。

黎曼流形與伪黎曼流形的最大分別是伪黎曼流形不一定正定,通常是非退化。因为每個正定形式都是非退化的,黎曼度量是伪黎曼度量的一個特殊例子。固此，可以把黎曼流形歸納為伪黎曼流形。

每一個非退化對稱,雙線性形式有一個固定的度量特征数(signature) $(p, q)$ . 這裡 $p$ 與 $q$ 記作正特徵值及負特徵值。注意 $p + q = n$ 是流形的維度。黎曼流形就是以 $(n,0)$ 作為特征值。

伪黎曼流形的特征数 $(p,1)$ 稱為洛仑兹(Lorentzian)度量。擁有Lorentzian度量的流形都是Lorentzian流形。除黎曼流形外，Lorentzian流形是假黎曼流形的最重要的子類。因為它常常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有 $(3,1)$ 特征数的Lorentzian流形的模型。

和欧氏空间 $\mathbf R^n$ 可以被认为是黎曼流形的模型一样，, 有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) $\mathbf R^{p,1}$ 是洛仑兹流形的模型空间。特征数为 $(p, q)$ 的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的 $\mathbf R^{p,q}$ :

$g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2$

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用Levi-Civita联络和相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定特征数的伪黎曼度量；因为有一些特殊的拓扑障碍存在。

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