Variedad (matemática)

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Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática, que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) o superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos variados (no forzosamente el de los reales); existe en diversas variantes utilizadas según el dominio particular considerado:

variedades diferenciables: son como las superficies lisas (sin puntos angulosos) y generalmente reales, donde se pueden definir en cualquier punto vectores (o planos) tangentes; están utilizadas por la teoría de los grupos de Lie, por el cálculo diferencial sobre los espacios topológicos más generales (que se utilizan en mecánica, por ejemplo);
variedades algebraicas: son curvas o superficies definidas como raíces de polinomios de varias variables generalmente complejas;
variedades aritméticas: son casos particulares de variedades algebraicas, más especializadas, para las aplicaciones orientadas a la teoría de números. El cuerpo de referencia es el de los números racionales, o una de sus extensiones.

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a $\mathbb{R}^n$ . Esto nos hace pensar que una variedad esta compuesta de parches n-dimesionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

[editar] Generalización

La categoría de las variedades (indefinidamente) diferenciables con morfismos (indefinidamente) diferenciables carece de ciertas propiedades deseables, y se ha tratado de generalizar las variedades (indefinidamente) diferenciables para corregir esto. Los espacios difeológicos usan una noción diferente de carta conocida como plots ( o placas). Espacio diferenciable y Espacio de Frölicher son otros intentos.