Тангенсна теорема

Из пројекта Википедија

Тангенсна теорема говори о тангенсима полу-углова изражених помоћу страна троугла и полупречника уписаног круга у дати троугао.

Тангенсна теорема

Теорема 1: Тангенс полу-угла троугла једнак је количнику полупречника уписаног круга и разлике полуобима и супротне стране, тј.; $\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\frac{r}{p-a},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\frac{r}{p-b},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\frac{r}{p-c},$; где су A, B, C углови троугла ABC, r полупречник уписане кружнице, $p=\frac{a+b+c}{2}$ полуобим, при чему су странице $a = y+z,\; b=x+z,\; c=x+y,$ насупрот теменима ABC, на слици десно.
Доказ: Повуцимо симетрале унутрашњих углова троугла ABC. Из центра уписаног круга О датог троугла спустимо нормале OD, OE, OF на странице троугла, редом CA = b, AB = c, BC = a. Свака од тих нормала има дужину једнаку полупречнику r уписаног круга. За тако добијене троуглове важе релације подударности $\Delta AOD\cong\Delta AOE,\; \Delta BOE\cong\Delta BOF,\; \Delta COF\cong\Delta COD.$ Добијамо:; $\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\frac{r}{AE},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\frac{r}{BF},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\frac{r}{DC}.$ Сада изразимо AE, BF, DC помоћу страница троугла. Прво имамо $a=y+z,\; b=z+x,\; c=x+y,$ где су $x=AE=AD,\; y=BF=BE,\; z=CD=CF$ делови страница до додирних тачака уписане кружнице. Сабирањем ових једначина добијамо $\ a+b+c=2(x+y+z),$ или $x+y+z=\frac{1}{2}(a+b+c)=p.$ Одузимањем сваке од претходних са последњом једначином следи $p-a=x=AE,\; p-b=y=BF,\; p-c=z=DC,$ и сменом у полазне једначине добијамо изразе које је требало доказати. Крај доказа.

Заменом полупречника уписане кружнице одговарајућим изразима са страницама датог троугла, добићемо згодније формуле ове исте теореме.

Теорема 2: За троугао ABC важе једнакости:; $\operatorname{tg}\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}},\; \operatorname{tg}\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}},\; \operatorname{tg}\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}},$; где су a, b, c странице троугла ABC насупрот истоименим теменима, a p je полуобим.
Доказ: Полазећи од претходне теореме (1) и Хероновог образца за површину троугла $P_\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ и од израза $\ P_\Delta = rp,$ добијамо $r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}.$ Затим следе тражене једнакости. Крај доказа.