Исказна алгебра

Из пројекта Википедија

[уреди] Дефиниција

Нека су $\top$ и $\bot$ два различита знака. Уређена шесторка $(\{\top,\bot\},\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow,\neg)$ назива се исказна алгебра ако су $\wedge,\vee,\Rightarrow,\Leftrightarrow$ бинарне операције скупа $\{\top,\bot\}$ дате таблицама

$\wedge$	$\top$	$\bot$
$\top$	$\top$	$\bot$
$\bot$	$\bot$	$\bot$

$\vee$	$\top$	$\bot$
$\top$	$\top$	$\top$
$\bot$	$\top$	$\bot$

$\Rightarrow$	$\top$	$\bot$
$\top$	$\top$	$\bot$
$\bot$	$\top$	$\top$

$\Leftrightarrow$	$\top$	$\bot$
$\top$	$\top$	$\bot$
$\bot$	$\bot$	$\top$

а $\neg$ унарна операциај дата следећом таблицом

$\neg$
$\top$	$\bot$
$\bot$	$\top$

Приоритет операција одговара приоритету логичких везника у исказним формулама.

Свако пресликавање $\{\top,\bot\}^n \rightarrow \{\top,\bot\}$ назива се n-арна операција исказне алгебре.

Поред наведених операција, у исказној алгебри често се користе и следеће две:

$x \uparrow y = \neg ( x \wedge y )$ Шеферова

$x \downarrow y = \neg ( x \vee y )$ Лукасијевичева

[уреди] Однос исказних формула и исказне алгебре

Исказне формуле интерпретирамо у исказној алгебри.

Валуација $\alpha\,\!$ је пресликавање $Var \rightarrow \{\top,\bot\}$ које исказним словима додељује вредности из скупа $\{\top,\bot\}$ .

Вредност исказне формуле A у валуацији ${\alpha}\,\!$ , у ознаци $\upsilon_\alpha(A)\,\!$ дефинисана је на следећи начин:

$\upsilon_\alpha(p_i) = \alpha(p_i)\,\!$

$\upsilon_\alpha(A \wedge B) = \upsilon_\alpha(A) \wedge \upsilon_\alpha(B)$

$\upsilon_\alpha(A \vee B) = \upsilon_\alpha(A) \vee \upsilon_\alpha(B)$

$\upsilon_\alpha(A \Rightarrow B) = \upsilon_\alpha(A) \Rightarrow \upsilon_\alpha(B)$

$\upsilon_\alpha(A \Leftrightarrow B) = \upsilon_\alpha(A) \Leftrightarrow \upsilon_\alpha(B)$

$\upsilon_\alpha(\neg A) = \neg \upsilon_\alpha(A)$

Значи, исказној формули $A(p_1,...,p_n)\,\!$ додељујемо функцију

$\bar A:\{\top,\bot\}^n \rightarrow \{\top,\bot\}$

за коју важи $A(x_1,...,x_n) = \upsilon_\alpha(A(p_1,...,p_n))\,\!$ , где је $α$ валуација за коју важи $\alpha(p_i) = x_i, i \in \{1,2,...,n\}$ .

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D0%B8/%D1%81/%D0%BA/%D0%98%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0.html"

Категорије страница: Логика · Исказни рачун

Исказна алгебра

Из пројекта Википедија

[уреди] Дефиниција

[уреди] Однос исказних формула и исказне алгебре

Views

навигација

Претрага