Serie matemática

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En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos $a n$ como

$\sum_{i=1}^N a_i$

donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas van desde 1 hasta $\infty$ .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si converge a infinito. Para otros, una serie diverge si no converge a nada. Pero matemáticamente, podemos decir que la serie $\sum n^2$ converge en la recta extendida $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$

Tabla de contenidos

1 Algunos tipos de series
2 Criterios de convergencia
3 Criterios de convergencia comparativos
- 3.1 Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )
- 3.2 Criterio de comparación de paso al límite
4 Tipos de convergencia
- 4.1 Convergencia absoluta
5 Enlaces externos

[editar] Algunos tipos de series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante. Ejemplo:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^n}.$

En general, para las series geométricas

$\sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac{1}{1-z}$

Converge si y solo si |z| < 1.

La serie armónica es la serie

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

[editar] Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( $\pm \infty$ u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente)..

[editar] Condición necesaria

Si una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ es convergente, entonces $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0$ .

El recíproco no es cierto. Por ello, el contra recíproco es:

Si $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0$ entonces $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ es divergente

Demostración:

Por Hipótesis:

S k = a 1 + a 2 + ... + a k

$\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = S$ para todo s ε ℝ

Sabemos que $S k - 1 = a 1 + a 2 + ... + a k - 1$ y que $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{k-1} = S$ para todo s ε ℝ

Por lo tanto teniendo en cuenta que $S k - S k - 1 = a k$ entonces $\lim_{k \rightarrow \infty} (S_k-S_{k-1}) =S-S= \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0$

Queda demostrada la proposición.

[editar] Criterio de D'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (términos no negativos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=l$

con $l \, \in \, [0, +\infty]$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $l < 1$ , la serie converge.
si $l > 1$ , entonces la serie diverge.
si $l = 1$ , no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

[editar] Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (términos no negativos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=l$ , siendo $l \, \in \, [0, +\infty]$

Entonces, si:

$l < 1$ , la serie es convergente.
$l > 1$ entonces la serie es divergente.
$l$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

[editar] Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (términos no negativos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=l$ , siendo $l \, \in \, (-\infty , +\infty )$

Por tanto, si $l > 1$ , entonces la serie es convergente y si $l < 1$ , la serie es divergente

Tener cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

[editar] Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra seríe $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la seríe geometrica. Entonces: