Словарь терминов теории групп

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Для общего описания теории групп, смотри группа (математика) и теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я

p-группа — группа все элементы в которой имеет порядок равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

[править] А

Абелева группа. см. коммутативная группа

[править] Г

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера-Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором $G i$ — максимальная нормальная в $G$ подгруппа из $G i + 1$ , для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(a) × f(b)

для произвольных a и b в G.

[править] Д

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число $n$ в определении ряда подгрупп.

[править] Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе $H$ - это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу $a$ группы смежный класс $a H$ . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа $H$ .

[править] И

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в G — мощность (т.е. количество) правых (или левых) классов смежности. Обычно обозначается [G : H]. Для конечных группы G, индекс её подгруппы равен отношению порядков [G : H] = |G |/|H|.

Индексы ряда подгрупп — индексы $| G i + 1 : G i |$ в определении субнормального ряда подгрупп.

[править] К

Класс смежности/смежный класс (правый или левый) подгруппы H в G. Правый класс смежности элемента $g \in G$ по подгруппе H в G есть множество

$gH= \{gh|h\in H\}.$

Аналогично определяется левый класс смежности:

$Hg= \{hg|h\in H\}.$

Класс сопряжённости элемента $g \in G$ есть множество

$\{hgh^{-1}|h\in G\}.$

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или $G'$ .

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g $\forall g, h \in G$ .

Коммутатор элементов g и h есть элемент $[g, h] = g - 1 h - 1 g h$ .

Коммутатор подгрупп

Конечная p-группа — p-группа конечного порядка $p n$ .

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

[править] Л

Локальное свойство группы $G$ . Говорят, что группа $G$ обладает локальным свойством $P$ , если любая конечно порождённая подгруппа из $G$ обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства $P$ групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Локальная теорема справедлива, например, в классе абелевых групп, но не справедлива в классе конечных групп.

[править] М

Метабелева группа - группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (т. е. не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

[править] Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

$N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.$

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если $\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H$ .

Нормальный ряд подгрупп - ряд подгрупп, в котором $G i$ нормальна в $G$ , для всех членов ряда.

[править] О

Образующая

[править] П

Перестановочные элементы — пара элементов $a,b\in G$ такие что $a b = b a$ .

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона $J (G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из $G$ .

Подгруппа Фиттинга $F (G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из $G$ .

Подгруппа Фраттини $Φ(G)$ группы $G$ — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы $G$ , если таковые существуют, и сама группа $G$ в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом $\phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H)$ (обозначается по разному, в том числе G ⋊_φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой $(g 1, h 1) * (g 2, h 2) = (g 1 φ(h 1)(g 2), h 1 h 2)$ для любых $g_1,g_2 \in G$ , $h_1,h_2 \in H$ .

Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g^m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂,h₁•h₂).

[править] Р

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал $S (G)$ группы $G$ — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из $G$ .

Ряд подгрупп. Конечная последовательность подгрупп, $G 0, G 1,..., G n$ называется рядом подгрупп, если $G_i \leq G_{i+1}$ , для всех $i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G$ . Такой ряд записывают в виде

$1=G_0\leq G_1\leq ... \leq G_n=G$

или в виде

$G=G_n\geq G_{n-1}\geq ... \geq G_0=1$

[править] С

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа. Свободной группой, порождённой множеством $A$ , называется группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппа — $p$ -подгруппа в $G$ , имеющая порядок $p n$ , где $| G | = p n s$ , НОД $(p, s) = 1$ .

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют все образующие группы(при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента $p$ множества $M$ , на котором действует группа $G$ - подгруппа $St_G(p) \subset G$ , все элементы которой оставляют $p$ на месте: $g\cdot p = p$ .

Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа $G i$ нормальна в подгруппе $G i + 1$ , для всех членов ряда.

[править] Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(a H) * (b H) = (a b) H .

Факторы субнормального ряда — фактор-группы $G i + 1 / G i$ в определении субнормального ряда подгрупп.

[править] Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

[править] Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = { $g \in G$ | gh = hg для любого $h \in G$ },

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$ , для всех членов ряда.

Циклическая группа - группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

[править] Ш

[править] Э

Экспонента $exp(G)$ конечной группы $G$ — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы $G$ .

[править] Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Категории: Теория групп | Словари в Википедии