Парадокс Хаусдорфа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Парадокс Хаусдорфа утверждает, что существует счётное подмножество T двумерной сферы S2 такое, что с вырезанным T, может быть разбито на три подмножества A, B и C так, что подмножества A, B, C и B ∪C являются попарно конгруэнтными. Парадокс Хаусдорфа — вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма неинтуитивная (в частности, две копии можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии !)
Этот парадокс был опубликован[1] в 1914 году, в его доказательстве используется аксиома выбора. Доказательство более известного парадокса Банаха — Тарского основано на той же идее Хаусдорфа. Как и парадокс Банаха — Тарского, парадокс Хаусдорфа нельзя ни доказать, ни опровергнуть без принятия аксиомы выбора, а при принятии некоторых альтернативных аксиом можно доказать его отрицание (т.е. невозможность такого разбиения).
Парадокс доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал конечно-аддитивную меру, который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы тот же объём.
Иногда под парадоксом Хаусдорфа понимают другое утверждение, доказанное в той же статье, что и предыдущее. Оно утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.
Содержание |
[править] Идея доказательства
Здесь мы докажем упрощённый вариант парадокса, мы покажем, что сферу с выколотым счётным числом точек (назовём её ) можно разбить на три попарно конгруэнтных куска A, B и C такие, что B ∪C конгруэнтно подмножеству A. Как и парадокс Хаусдорфа, это утверждение доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал «площади», который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы одинаковый объём.
В доказательстве делаются следующие шаги:
- Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими Γ на три подмножества.
- Строим свободное изометрическое действие этой группы на .
- Используем разбиение Γ и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.
[править] Шаг 1
Рассмотрим группу Γ с двумя образующими a и b и соотношениями a2 = 1 и b3 = 1 (иначе говоря, , где * обозначает свободное произведение групп). Группа Γ состоит из пустого слова, которое мы обозначаем 1 (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов b,b - 1 и a такие, что b и b - 1 чередуются с a. Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как или или или .
Группу Γ можно разбить следующим образом: пусть будет множество всех слов, начинающихся с b, будет множество всех слов, начинающихся с b - 1 и будет множество всех остальных элементов Γ. Ясно, что
т. е. мы разбили нашу группу Γ на три непересекающихся подмножества. Также
На рисунке справа изображён граф Келли группы Γ, и подмножества и отмечены соответственно красным, синим и зелёным цветом.
[править] Шаг 2
Несложно показать, что существует представление Γ с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток . (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы π и 2π / 3 общего положения и сопоставить их образующим a и b, то индуцированное действие Γ будет удовлетворять этому условию).
[править] Шаг 3
Выберем в каждой орбите Γ на по одному элементу, назовём полученное множество X (как раз для построения X нам и нужна аксиома выбора). Тогда наша колотая сфера представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:
где
Используя тот же приём, что и в шаге 1, мы получаем:
- A = bC,
- B = b − 1C,
и, так как a и b являются изометриями, мы получаем, что А, B и C конгруэнтны и А ∪B конгруэнтно подмножеству C.
[править] Литература
- ↑ F. Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen, Mathematische Annalen, vol 75. (1914) pp. 428-434.