Операции над множествами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

[править] Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

$A \subset B :\Leftrightarrow x \in A \Rightarrow x \in B$ .

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если $A \subset B$ и $A \ne B$ , то A называется собственным подмножеством В. Заметим, что $\forall M \quad M \subset M$ . По определению $\forall M \quad \varnothing \subset M$ .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга: $A = B :\Leftrightarrow A \subset B \land B \subset A$

[править] Операции над множествами

Ниже перечислены основные операции над множествами:

объединение:

$A\cup B := \left\{x| x \in A \lor x \in B\right\}$

пересечение:

$A\cap B := \left\{x| x\in A\land x\in B\right\}$

разность:

$A\setminus B := \left\{x| x\in A \land x\notin B\right\}$

симметрическая разность:

$A\triangle B \equiv A \dot - B := \left(A\cup B\right)\setminus\left(A\cap B\right) = \left\{x|(x\in A \land x\notin B)\lor(x\notin A \land x\in B)\right\}$

дополнение:

$\overline A := \left\{x|x\notin A\right\}$

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A): $\overline A = U \setminus A$

Декартово или прямое произведение:

$A \times B = \left\{ (a,b) | a \in A, b \in B \right\}$

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Категория: Теория множеств

Операции над множествами

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Сравнение множеств

[править] Операции над множествами

Views

Навигация

Участие

Поиск