Número plateado

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La razón plateada es una constante matemática. Su nombre hace alusión por similitud a la razón dorada.

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Definición como 1 más la raiz cuadrada de 2
- 1.2 Definicion como 2, 2, 2...
2 Propiedades
- 2.1 No equidistribución mod 1
- 2.2 Potencias de la razón plateada
3 Expresiones Plateadas
- 3.1 Propiedades de la Razón plateada
4 Rectángulos plateados
5 Referencias

[editar] Definición

[editar] Definición como 1 más la raiz cuadrada de 2

La razón plateada ( $δ S$ ) es definida como un número irracional seguido de la suma de 1 y la raíz cuadrada de 2. Esto es:

$\delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210$

Se sigue de esta definición que

$(\delta_S-1)^2=2\, .$

[editar] Definicion como 2, 2, 2...

La razón plateada puede ser definida como la fracción contínua [2, 2, 2, 2, ...]:

$\delta_S = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}\, .$

[editar] Propiedades

[editar] No equidistribución mod 1

En las aproximaciones diofánticas, la secuencia de partes fracionales de

xⁿ, n = 1, 2, 3, ...

Se puede ver que la equidistribución mod 1, para casi todos los números reales que x > 1. La razón plateda es una excepción.

[editar] Potencias de la razón plateada

Las potencias inferiores de la razón plateada son:

$\!\ \delta_S^0 = 1$

$\delta_S^1 = \delta_S + 0$

$\delta_S^2 = 2\delta_S + 1$

$\delta_S^3 = 5\delta_S + 2$

$\delta_S^4 = 12\delta_S + 5$

Las potencias continúan con el patrón

$\!\ \delta_S^n = K_n\delta_S + K_{(n-1)}$

donde

$\!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

Por ejemplo, empleando esta propiedad:

$\!\ \delta_S^5 = 29\delta_S + 12$

Empleando $\!\ K_0 = 1$ y $\!\ K_1 = 2$ como condición inicial, una fórmula tipo-Binet daría la solución en forma recurrente...

$\!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

lo cual acaba siendo...

$\!\ K_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} {(\delta_S^{n+1} - {(2-\delta_S)}^{n+1})}$

[editar] Expresiones Plateadas

La expresión general $[n,n,n,\dots]=\frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)$ es conocida como exprexión plateada. La razón dorada es una exprexión plateada para $n = 1$ , mientras que la razón plateada es para $n = 2$ . Los valores de las diez primeras razones plateadas se muestran a la derechat. ^[1]:

Expresiones Plateadas
0	0 + v1	1
1	½ + v1¼	1.618033989
2	1 + v2	2.414213562
3	1½ + v3¼	3.302775638
4	2 + v5	4.236067978
5	2½ + v7¼	5.192582404
6	3 + v10	6.162277660
7	3½ + v13¼	7.140054945
8	4 + v17	8.123105626
9	4½ + v21¼	9.109772229

[editar] Propiedades de la Razón plateada

Estas propiedades sólo son válidas para enteros m, para números no-enteros las propiedades son similares pero difieren ligeramente. Las propiedades mostradas más abajo para las potencias de la razón plateada son una consecuencia de las propiedades que muestran. Para la expresión de la razón plateada S de m, la propiedad puede ser generalizada como

$\!\ S_{m}^n = K_{n}S_{m} + K_{(n-1)}$

donde

$\!\ K_n = mK_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

Empleando las condicones iniciales $\!\ K_0 = 1$ and $\!\ K_1 = m$ , esta realción recurrente llega a ser ...

$\!\ K_n = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 4}} {(S_{m}^{n+1} - {(m-S_{m})}^{n+1})}$

Las potencias de la razón plateada poseen otras propiedades interesantes:

Si n es un número entero positivo y par:

$\!\ {{S_{m}^n - \lfloor S_{m}^n \rfloor} \over S_{m}^{-n}} = S_{m}^n - 1$

Además,

$\!\ {1 \over {S_{m}^4 - \lfloor S_{m}^4 \rfloor}} + \lfloor S_{m}^4 - 1 \rfloor = S_{(m^4 + 4m^2 + 1)}$

$\!\ {1 \over {S_{m}^6 - \lfloor S_{m}^6 \rfloor }} + \lfloor S_{m}^6 - 1 \rfloor = S_{(m^6 + 6m^4 + 9m^2 +1)}$

También,

$\!\ S_{m}^3 = S_{(m^3 + 3m)}$

$\!\ S_{m}^5 = S_{(m^5 + 5m^3 + 5m)}$

$\!\ S_{m}^7 = S_{(m^7 + 7m^5 + 14m^3 + 7m)}$

$\!\ S_{m}^9 = S_{(m^9 + 9m^7 + 27m^5 + 30m^3 + 9m)}$

$\!\ S_{m}^{11} = S_{(m^{11} + 11m^9 + 44m^7 + 77m^5 + 55m^3 + 11m)}$

La media de la razón plateada S de m también tiene la propiedad que:

$\!\ 1/S_{m} = S_{m}-m$

significando que la media de la expresión plateada tiene la misma parte decimal que la correspondiente exprexión plateada. Empleando esta propiedad, la expresión de la razón plateada definida para todos los números debe satisfacer:

$\!\ x \equiv x^{-1} \pmod 1$

Si expandimos la expresión de la razón dorada S de m tal que

$\!\ S_{m} = a + b$

Donde a es la parte entera de S y b, entones la siguiente propiedad es cierta:

$\!\ S_{m}^2 = a^2 + mb + 1.$

Por ser (para todos los m mayores que 0), la parte entera de S_m = m, a=m. For m>1, donde tenemos que

$\!\ S_{m}^2 = ma + mb + 1$

$\!\ S_{m}^2 = m(a+b) + 1$

$\!\ S_{m}^2 = m(S_{m}) + 1$

Por lo tanto la expresión de la razón plateada de m es una solución de la ecuación

$\!\ x^2 - mx - 1 = 0$

Es interesante resaltar que la expresión de la expresión S of −m es la inversa de la expresión S de m

$\!\ {1/S_m} = S_{(-m)} = S_m - m.$

Otro resultado interesante se puede obtener mediant un ligero cambio en la fórmula de la exprexión. Si consideramos un número

$\!\ \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4c}\right) = R$

entonces las siguientes propiedades son ciertas:

$\!\ R - \lfloor R \rfloor = c/R$ si c es real,

$\!\ \left({1 \over R}\right)c = R - \lfloor real(R) \rfloor$ si c es un múltiplo de i.

[editar] Rectángulos plateados

Un rectángulo cuyo aspect ratio entre los lados sea igual a la razón plateada se denomina rectágulo plateado por analogía con la razón dorada. Confusamente el “rectángulo de plata” se puede también referir a un rectángulo en la proporción 1:v2, también conocido como “un rectángulo A4” en la referencia a tamaño del papel A4 definida ya en el ISO 216.