Matriz simétrica
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Una matriz de nxm elementos:
es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i, j =1,2,3,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, una matriz traspuesta.
Ejemplo, para n = 3:
[editar] Propiedades
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyas entradas sean reales puede ser diagonalizada por una matriz ortogonal. Éste es un caso especial de una matriz hermítica.
[editar] Autovalores
Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales.
En base a las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:
- definida positiva: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente postivos.
- definida negativa: Una matriz simétrica es definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos.
- semidefinida positiva: Una matriz simétrica es semidefinida positiva si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.
- semidefinida negativa: Una matriz simétrica es semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero.
Vea también: Forma bilineal definida
