Matriz diagonalizable

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Definición: Sea $A \in M_{n\cdot n}(\mathbb{K})$ una matriz cuadrada con valores en un cuerpo $\mathbb{K}$ , decimos que la matriz $A$ es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma

$A = P\cdot D \cdot P^{-1}$

donde:

D es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de Sp(A), apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica, siendo Sp (A) el espectro de A, es decir, el conjunto de autovalores de la matriz A:

$Sp(A) = \big\{ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n / A \cdot v = \lambda_i \cdot v \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$

P es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada $\lambda_i \,$ siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz $(A - \lambda_i \cdot I)$ :

$P = (v_1 | v_2 | ... | v_n ) / v_j \in ker (A - \lambda_i \cdot I) \forall i,j = 1,...,n$

Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:

$A^p = P \cdot D^p \cdot P^{-1}$ ,

facilitando mucho el cálculo de las potencias de $A$ , dado que siendo $D$ una matriz diagonal, el cálculo de su p-ésima potencia es muy sencillo:

$D^p = \begin{pmatrix} {d_1}^p & 0 & ... & 0 \\ 0 & {d_2}^p & ... & 0 \\ | & | & ... &| \\ 0 & 0 & ... & {d_n}^p\end{pmatrix}$ .

Ejemplo:

Tomemos la matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ y veamos que es diagonalizable:

Mediante un procedimiento que no detallamos, hemos hallado la siguiente matriz inversible:

$P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ con inversa $P^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{-2}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

Hallemos ahora la matriz diagonal, usando esta matriz $P$ como sigue:

$A=P \cdot D \cdot P^{-1} \Leftrightarrow P^{-1} \cdot A \cdot P = D$

Realizamos el cálculo introduciendo los datos:

$D=\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{-2}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

Luego resulta que existen matrices $P$ y $D$ tales que

$A=P \cdot D \cdot P^{-1}$ cumpliendo $P$ y $D$ los requisitos pedidos al principio, y por tanto la matriz $A$ es diagonalizable.

De este modo, podemos, en caso de que nos lo pidan, calcular, por ejemplo, la séptima potencia de $A$ :

$A^7 = P \cdot D^7 \cdot P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1^7 & 0 \\ 0 & 4^7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{-2}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-3+2\cdot 4^7}{5} & \frac{2+2\cdot 4^7}{5} \\ \frac{3+3\cdot 4^7}{5} & \frac{-2+3\cdot 4^7}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6553 & 6554 \\ 9831 & 9830 \end{pmatrix}$

Observación: No todas las matrices cuadradas son diagonalizables, pero existen procedimientos similares para hallar matrices $P$ inversibles y matrices $J$ diagonales a bloques de tal modo que

$A=P \cdot J \cdot P^{-1}$