Interpolazione polinomiale
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L'interpolazione polinomiale costituisce un'alternativa dell'interpolazione lineare: mentre per questo metodo si usa una sequenza di funzioni lineari, si tratta ora di servirsi di un polinomio di un opportuno grado più alto.
Di una funzione f che in altra sede è nota si supponga di conoscere alcuni valori; in particolare si considerino i seguenti valori tabulati
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0.8415 |
| 2 | 0.9093 |
| 3 | 0.1411 |
| 4 | −0.7568 |
| 5 | −0.9589 |
| 6 | −0.2794 |
Ci si chiede, per esempio: quanto vale la funzione in x = 2.5? L'interpolazione risolve problemi come questo.
Il seguente polinomio di sesto grado passa attraverso tutti i sette punti dati:
- f(x) = - 0.0001521x6 - 0.003130x5 + 0.07321x4 - 0.3577x3 + 0.2255x2 + 0.9038x.
Sostituendo x = 2.5, troviamo che f(2.5) = 0.5965.
In generale, se abbiamo n punti dati, esiste esattamente un polinomio di grado n−1 che passa attraverso tutti i punti dati. L'errore di interpolazione è proporzionale alla distanza fra i punti dati alla potenza n . Inoltre questo interpolante, essendo un polinomio è illimitatamente differenziabile. Quindi l'interpolazione polinomiale, in linea di principio risolve tutti i problemi di interpolazione lineare.
Tuttavia questo metodo presenta alcuni svantaggi. Il calcolo che porta ai coefficienti del polinomio d'interpolazione è molto "costoso" (in termini di tempo di esecuzione richiesto al calcolatore e in termini di complessità delle elaborazioni). Inoltre, l'interpolazione polinomiale per il complesso dei valori dalla variabile indipendente non si rivela molto esatta; questo accade, in particolare, nei punti astremi (vedi fenomeno di Runge ). Questi svantaggi possono essere evitati usando i metodi dell'interpolazione spline.
