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Segment (mathématiques)

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En géométrie élémentaire, un segment est un « morceau » de droite compris entre deux points, les extrêmités de ce segment.

[modifier] Autres définitions

Un segment peut être défini de différentes manières, de plus en plus générales... et de plus en plus abstraites :

  • En géométrie plane, si on se donne deux points distincts A et B, le segment [AB] est l'ensemble ( ou lieu ) des points qui appartiennent à la droite passant par ces deux points, et qui sont entre A et B  ( ces derniers points sont inclus dans le segment ). On étend la définition précédente au cas où les deux points A et B sont confondus ; le segment [AA] se réduit alors au point A : [AA] = { A }.
  • dans un espace affine sur \ ^{\mathbb{R}}, le segment [AB] est l'ensemble des points obtenus en ajoutant au point A un vecteur égal à une fraction du vecteur \begin{matrix} \,_{\overrightarrow{AB}} \\ \, \end{matrix} \, :
[ AB ] = \{ A + t . \overrightarrow{AB} \ | \ t \in [0, 1] \} \,.

Notons que l'on utilise ici la notation [0, 1] qui représente, non un segment de l'espace affine, mais un intervalle réel fermé, c'est-à-dire un segment de \ ^{\mathbb{R}} ( heureusement défini par un autre moyen, par exemple grâce à l'ordre total de cet ensemble).

  • plus généralement, dans un espace affine sur un corps \ ^{\mathbb{K}} totalement ordonné, de sorte que la notion d'élément positif ( c'est-à-dire supérieur à l'élément neutre ) y ait un sens, on peut définir le segment [AB] comme l'ensemble de tous les barycentres possibles des deux points A et B affectés de coefficients positifs arbitraires (mais non tous nuls).
  • encore plus généralement, dans un espace affine métrique, c'est-à-dire muni d'une distance, on peut définir le segment segment [AB] comme l'ensemble des points dont la somme des distances à A et à B est égale à la distance entre A et B.

[modifier] Exemples

  • On se trouve dans l'espace \ ^{\mathbb{R}^{n}}. Soient a et b les deux extrémités du segment et E l'ensemble des points du segment :
E = \{ x / x = \frac{ia + jb}{i + j}, i \in \mathbb{R}^{+}, j \in \mathbb{R}^{+}, i + j \neq 0 \}
  • Par identification de la droite aux nombres réels un segment de \ ^{\mathbb{R}} est un intervalle borné.
  • Dans un espace affine, un segment est l'enveloppe convexe de deux points de l'espace. Cet énoncé serait une définition formidablement concise si la définition d'enveloppe convexe n'utilisait pas la notion de segment !

[modifier] Propriétés

Deux points A et B non confondus définissent un segment unique [AB]. Mais ils définissent aussi :

  • deux bipoints ou vecteurs liés, en fait les deux couples que peuvent former ces deux points : ( A , B ) et ( B , A ) ;
  • deux vecteurs libres ou vecteurs, \begin{matrix} \,_{\overrightarrow{AB}} \\ \, \end{matrix} \, et \begin{matrix} \,_{\overrightarrow{BA}} \\ \, \end{matrix} \, ; formellement, ce sont les classes d'équipollence des bipoints précédents ;
  • une droite (AB) appelée direction ou droite directrice des deux points A et B, ou des vecteurs précédents : c'est simplement la droite passant par les deux points ;
  • un point particulier, appelé milieu des deux points, ou du segment : c'est le point du segment à égale distance de A et de B; c'est également l'isobarycentre de ces deux points ;
  • et un ensemble de points, ceux situés à égale distance de A et de B ; dans le plan, cet ensemble est une droite appelée médiatrice des deux points, ou du segment ; elle est perpendiculaire à ce dernier (et à la droite (AB) ) et passe par son milieu.

Dans un espace métrique, le segment [AB] possède une mesure appelée longueur, qui est la distance entre les deux points A et B ; c'est aussi, si l'espace est normé, la norme du vecteur \begin{matrix} \,_{\overrightarrow{AB}} \\ \, \end{matrix} \,. Dans un espace affine non métrique, on peut seulement définir des rapports entre les segments.


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